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準同型写像
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準同型写像

(サイエンス)
【じゅんどうけいしゃぞう】

二つの群 G , G ' と、その間の写像 f : G → G ' について、f(gh) = f(g)f(h) が任意の g,h ∈ G について成り立つとき、f を G から G ' への群準同型写像、あるいは単に群準同型という。群の文脈であることが明らかならば、単に準同型写像、準同型などという。
また、G , G ' が共通の作用域 Λ を持つとき、任意の g ∈ G と任意の λ ∈ Λ に対して f(λ(g)) = λ(f(g)) が成り立つような準同型を Λ-準同型という。

一般には代数系の構造を保存して移す写像を準同型という 2つの代数系 \mathbf{A}=(A,S_A), \mathbf{B}=(B,S_B) のすべての演算に対して次が成立つとき、f は代数系 \mathbf{A} から \mathbf{B} への準同型写像であるという。

  • A 上のn-項演算 \alpha\in S_A に対して対応する B 上のn-項演算 \beta\in S_B が存在して、f(\alpha(x_1,\ldots,x_n))=\beta(f(x_1),\ldots,f(x_n)) が任意の元 x_1,\ldots,x_n\in A に対して成り立つ。

リスト::数学関連

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情報統合思念体への手紙•3日前

左Λ-準同型写像に関する誘導写像の性質

-準同型写像 -準同型写像 とする．このとき次が成立する． (設計) と置く．より (仕組) (ア) について 左-加群から左-加群への 左-準同型写像 に対してと定めるとと書けることは以前示した． (イ) について の誘導写像に関して () による． (ウ) について 合成写像 () による． (エ) について よりである． (オ) について による． ☆ 補足 の可換性を用いることがなかったので，は非可換環である，と考える．

関連ブログ

情報統合思念体への手紙•5日前

図式が可換であること

-準同型写像 i.e. 順序対の写像 i.e. とする．このとき，という図式は可換である．但しとはの自然写像である． ☆ 補足 の元はすべての零元であるので，に置けるの剰余類及びその元は () i.e. で表示される． (設計) と置く．このときより である． (仕組) を計算する．パラメタに対して 合成写像の定義 ① ② である． したがってが成立する． ▢ ☆ 補足 ①について はに対応付けられているので，からに引き戻す． ②について 引き戻されたはに対応している．

情報統合思念体への手紙•7日前

全準同型写像の誘導写像も全射であること

前回の記事の-準同型写像を誘導写像と呼ぶ． とする．このときが全準同型写像ならば，誘導写像も全準同型写像である． (設計) と置く．このときより である． (仕組) -準同型写像について と仮定する．像の性質よりは成立するのでを計算する．すなわち をいう． ①に関して まずに対して i.e. と書ける． ②に関して 次にを考えれば である．ここで①と②に→-導入則を適用すれば が成立する．▢

情報統合思念体への手紙•7日前

剰余加群M/M'から剰余加群N/N'へのΛ-準同型写像について

- 順序対の群準同型写像 とくに -準同型写像 とくにであるからこれを で表すとする．このとき - が成立する．これより，とはを法とするの剰余類に属するので()，次の写像を定義できる： このようなは-である． (設計) と置く．このときより - である． (仕組) -準同型 このときの写像は，-加群から剰余加群への自然写像である．また -準同型 も同じ構造である．とくに今回は，であるから に注意する．さて，について を考えると ① i.e. ② i.e. と表示できる． (1) について -準同型 したがって が成立する． (2) について 剰余加群の積 -準同型 それゆえ が成り立つ． 以上…

情報統合思念体への手紙•11日前

左Λ-準同型写像の性質

- (-) (-) とする．このとき (設計) () はより成立する． (仕組) (ア) について ① ② -準同型 ①と②より成り立つ． (イ) ① ② ①と②による． (ウ) について，これら-準同型写像の集合は-加群の構造をもつことから成立する．したがってがいえる． (エ) (ウ)と同様の理由で が成立する．▢

情報統合思念体への手紙•14日前

Hom(M,N)がΛ-加群を成すこと

とする．このとき i.e. と置くとが成立する． (理由) ここで考えることは，が-準同型写像に成るのか，ということである． (ア) について よりは(ア)をみたす(が-準同型であるから)． (イ) について は-加群であるので次のように変形できる よりは(イ)をみたす． したがって，と成る．▢ が-加群を成すこと (理由) に対して () と置く．このときより - を得る．実際 ・について に関して (-) ・について (-) ・について (-) ・も同様の理由で成立する． 以上より，-▢ 結果 は可換環である，という仮定をしたが，結果としてその交換性を用いることは無かったので，を非可換環と…

情報統合思念体への手紙•14日前

Hom(M,N)が加法群であること

とする． 前回，が-準同型写像であることを確かめた．これはについて，-準同型写像の加法を定めたことに成る．いま，-準同型写像の集合 を考えると，演算に対して，これは加法群を成す． (証明) Ⅰ. 結合律 を選ぶ(パラメタの自在性)すなわち と置く．このとき，より が成立する． Ⅱ. 単位元(零元) と置く．より と成る．実際 (ア) i.e. が成り立つ． (イ) (ア)よりであるから，同様にしてである．したがってが成立する． Ⅲ. 逆元 と置く．このときより と表される．というのも (ア) について i.e. と書けるからである． (イ) について (ア)と同様にしてが成り立つ． 以上より，…

情報統合思念体への手紙•15日前

Λ-準同型写像の意義

- とする． ☆ 写像とは何か？ ここでは，言葉の意味について考えることはない．それが「抽象」である．たとえば(左)-加群とは何か？ と言われたとしよう．私は(今覚えている限りで) ① ② ③ ④ をみたすような及びである，と答えたとする．では，非可換環とは何か？ 加法群とは何か？ 群とは何か？ 二項演算とは何か？ 順序対とは何か？ 直積集合とは何か？ 集合とは何か？ というように用語の意味を遡り続けることになる(第一原因への言及)．そして，最も重要なことは記憶というのは忘却するものである，ということだ． もし，仮に①から④を答えたからといって，-加群の意味を知っている訳ではない．私は-加群の…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•1ヶ月前

木と林（有向グラフ）

“ファイバーの計算”（「ファイバーの計算 基本概念」参照）に関する一連の記事のひとつとして、木と林の話を書き始めたのですが、独立した話題として扱えるので、シリーズ記事からは外れた記事にします。木と林は有向グラフの種類のことで、現実世界の植物の話ではありません。木と林は、“ファイバーの計算”やコンテナ（「有向コンテナと多項式コモナド」、「2-コンテナ」参照）と密接な関係があります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•2ヶ月前

双遷移系のテンソル積

「双遷移系達の3次元の圏」で述べた3次元の圏類似代数系のプロ射（プロ方向の1-射）は双遷移系です。プロ射のプロ方向への結合は、双遷移系のテンソル積で与えられます。この記事で、双遷移系のテンソル積を定義します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\hyp}{\text{－} } %\newcommand{\Imp}{\Rightarrow } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } %\newcommand{\cat}[1]{\mathcal…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•2ヶ月前

双遷移系達の3次元の圏

「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」において、とある3次元の圏が存在しそうだ、と述べました。しかし、その3次元の圏の構成はかなり手間がかかる作業です。設定を単純化して、手間を減らしましょう。「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」で「モノイド圏」としていたところを、「モノイド」（単一対象の圏、または離散圏上のモノイド構造）に置き換えます。それに伴って、他の部分も単純な構造で置き換えます。そうすると、なんとか手に負えそうな圏類似代数系になります。単純化しても、単なるオモチャというわけではなくて、それなりに意味を持ちます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} …

wetchのブログ•2ヶ月前

同型定理のイラスト

ランキング参加中知識 参考文献 準同型定理 第1同型定理 第3同型定理 第2同型定理 参考 群以前の定理 参考文献 佐藤，田谷，理工基礎代数系 (ライブラリ新数学大系 E12) 以下， は群， は部分群， は正規部分群， は単位元を表す． 準同型定理 定理 写像 を準同型写像とする．このとき写像はwell-defined（代表元 の取り方によらず定義される）で，単射準同型写像となる．したがって値域の方を狭めてと再定義すればこれは同型写像．すなわち これのイラスト化を考えてみたのだけど，rhidetoのblogに載ってる下の絵が一番分かりやすかった． rhidetoのblog : 例6. 剰余群…

檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)•3ヶ月前

集合・関数係数行列の2-圏、モナドも添えて

過去ニ回の記事で、集合係数のベクトル・行列について述べました。 スパンとファイバー積と行列計算 集合係数のスカラー・ベクトル・行列・テンソル 二番目の記事では、集合係数の行列の一般化として集合係数のテンソルを定義しました。この記事では、別な方向への一般化として、集合係数の行列と共に関数係数の行列も考えることにより2-圏を構成します。そして、この2-圏のなかのモナドが何であるかも見ましょう。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\o}[1]{\overline{#1}} \n…

滴了庵日録•3ヶ月前

ノート：準同型定理

部分群 ある群の部分集合であって、それ自身も群となるもの。 部分群 H⊂G とは、Gが群であり、Gと同じ演算に関してHが群であること。 H≤G と書くこともある。 (演算に関して閉じている) (単位元を含む) (逆元に関して閉じている) 例 (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+) (整数、有理数、実数、複素数の加法群) (4Z, +) ⊂ (Z,+) (加法に関して、4の倍数は整数の部分群) 1+4Z は Zの部分集合だが、加法に関して群ではない。 正規部分群 部分群 H⊂G が正規部分群であるとは、 つまり であること。 ここで、gH = {gh | h∈ H} を意味す…