整数論

今回は局所類体論の存在定理と呼ばれる局所体上のAbel拡大の分類定理の使い方と、その強さを -進数版のKronecker-Weberの定理 -進数版のKronecker-Weberの定理 を素数とする。任意の 上有限次Abel拡大は、ある自然数 が存在して に含まれる。ここで とは の原始 乗根である。 を証明することで見ていく。 目次: 局所体の定義と性質 局所類体論の存在定理 最後に 参考文献 局所体の定義と性質 この節では以下の内容について話す。 局所体の定義。 局所体 は その整数環の素元 と単数群 により という構造をしている。 局所類体論の存在定理は の指数有限開部分群と 上のAb…

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を で表し, 整数係数の多項式全体の集合を ] で表します. 多項式 を級数展開表示したときの各 次の係数を で表すことにします. つまり, の級数展開表示を以下のように書きます. \begin{align} f(x) = a(f;n)x^{n} + \cdots + a(f;1)x + a(f;0).\end{align} また, 以下の…

こんにちは。ヒトデマンです。楕円曲線論のさわりに書かれてた話が面白かったのでブログに書いてみました。テキストは https://people.cs.nctu.edu.tw/~rjchen/ECC2012S/Elliptic%20Curves%20Number%20Theory%20And%20Cryptography%202n.pdf にあるので興味ある人はぜひ読んでみてください。俺はまだ2章までしか読めてない。 突然ですが問題です。面積がになるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。 これは簡単ですね。辺の長さがとなるような直角三角形が存在することは、理系で大学受験をし…

ｘにガウス整数（Ｍ＋i N）を代入して。その値がガウス素数になるかを実験してみた。 M,Nが±５の範囲でのガウス整数は１２１個あるのだが、上記の値でガウス素数になるのは４２個と1/3程度だ。マップすると下図になる。 では、ガウス素数を生み出したｘはどんな分布なのであろうか？ 範囲を拡大してM,Nが±1５ではこうなる。961個のうち264個がガウス素数だ。打率は三割弱なのでそれほど目覚ましい割合ではない。 上記に相当するｘの分布図は下図になります（けっこう計算時間かかりました） ガウス整数は負の二次体の簡単なものだが、代数的整数論の原点になった重要な数体でもある。昨日のblogのヘーグナー数にも…

ベルヌーイ一族は一流の数学者を輩出したスイスの家系です。その一人のヤコブは中でも特に才能豊かだった。その発案によるベルヌーイ数を巡ってちょいと計算してみました。 ja.wikipedia.org まず、その定義から。 この係数ｂnがベルヌーイ数の土台です。最初の15項はざっとこんな具合の数値になります。 ぼんやり眺めた限りでは、規則正しさなんてなさげです。しかし、実に奥深い数であることはこちらを参照してくだされ。 ja.wikipedia.org 上記のWikiに出ていない事項を計算してゆきましょう。 ベルヌーイ数の分母に注目してください。2,6,30,42,30........と脈絡なさげで…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 下記 2 つの関数の関係性を解説します. Riemann のゼータ関数 Dirichlet の L 級数 ■ 目次 Riemann のゼータ関数 ζ(s) の定義と Euler 積 Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の定義と Euler 積 ζ(s) と L(s,χ) の関係

こんにちは. ぱいです. 先日, むぐむぐ勉強会*1にて全 3 回にわたりセミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう！」を開きました. 詳細は以下のツイートをご参照ください. セミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう！」のスライドを公開します🌱計 19 種類の証明を紹介しました。素数や数学が好きなすべての人たちに届きますように✨️(第 1 回)https://t.co/lfEZTMhlhZ(第 2 回)https://t.co/yRFbuZcbLd(第 3 回)https://t.co/VFJygjis4X pic.twitter.com/HqAUZpDJ…

こんにちは. ぱいです. 京都大学の入試の過去問でこんな問題があります. 京大の過去問 (2006年後期) は有理数か？ この過去問の解答例はいろんなサイトで解説され尽くしているので割愛します. が有理数かどうかを考えたら, 今度は や についても次のような問題を考えたくなるのが人間のサガだと思います. 問題 や は有理数か？ この問題について, 代数的整数論を使ったスマートな解き方を思いついたので, その解き方を解説します. なお, 代数的整数論を知らない人にも分かるように解説しますので, 知らない人も安心して読んでください♪

空気になりたい凡人です。 htmlとCSSの基礎に終わりが見え始めたので学術ブログのテーマいじりと並行して次の対象「javascript」の本を買った。 が、無茶苦茶分厚くて戦慄。でも、これを超えればいろいろできるようになるはず。向こうのブログでパフォーマンス低下要因に「使用していないjavascriptの削減」なんてものがあるし。 頑張るぞい。 今日やったこと htmlの学習（0.5章分） 参考図書3ページ 自由学習 chain-complexの保存について 初等整数論 O記法 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること htmlの学習（0.5章分） 参考図書数ページ 自…

どうもmmです．4年生に上がったので，とりあえず，近況報告と将来の展望について述べておきます． ・近況報告 とりあえず，４Sセメスターでお世話になる先生が決まりました．ここで研究室と言わないのは，研究室固有のことは特にしていないからです．（これは私が物理についてかなりの無知であるためです．）４Sセメスターはお世話になって，４Aセメスターからの卒業研究は別のところに進むことができて，数学系（解析）もあるのでそちらに行こうと考えています．また，今学期のセミナーは関数解析です．ちょっと分野別にやっていることを記しておきます． ・代数学 藤﨑「体とガロア理論」のおそらく標準的な3年生まででやる内容はほ…

空気になりたい凡人です。 昨日まで2日ほどhtmlを全く触らなかったけど意外と書ける。身になり始めている証拠だろうか。やっぱりもっと技術を身に着けて会社に属さなくても生きていけるようになりたい。自分のやりたいことのためにも。 今日やったこと htmlの学習（0.3章分 あばよ！12章） 参考図書2ページ 自由学習 整拡大 整数の整除 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること htmlの学習（1章分） 参考図書数ページ 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 意地でも独立して見せる。そしてすべての人の学習支援をするのだ。こんなの企業じゃ金にならんからできないしね。 現場からは…

空気になりたい凡人です。 久しぶりに鬱々状態で危なかった。ここ最近就活のことばかり考えているせいで数学あまり触れず鬱屈状態に。これ就職したあとやってけるんだろうか。 今日やったこと（軽め） 自由学習 多項式環の係数拡大 明日やること htmlの学習 参考図書数ページ 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 やっぱり自分は数学なくなると生きていけない体になってしまったようだ。ちょっと触れんだけで熱出したり喘息症状が出たりと。勘弁してほしい。 現場からは以上です。

空気になりたい凡人です。 1か月ぐらいhtmlの学習をしてきてふと気になることが。 文章や対象のスペースを空けるコードとして"margin"があるのだが、これを使うときは、大体"margin-bottom"(対象の下側にスペースを作る)なのだ。 たまに上側を指定する"margin-top"も利用するけど例の場合はほとんどがbottom。 これ統一感を出すために"bottom"を利用する方がきれいだからとかそんな理由があったりするのだろうか（自分で作り始めたら感じるかな？） 今日やったこと htmlの学習（0.3章分） 参考図書1ページ（少ない..） 自由学習 associated primeに…

空気になりたい凡人です。 数学をやってるとふと定式化できる対象をまた見つけた。楽しい。 陳腐な重圧から解放されるとこんなに視野が広がるとは... 今日やったこと htmlの学習(0.3章分) 参考図書6ページ 自由学習 annihilatorについて 初等整数論 合同式 続き 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること htmlの学習(0.3章分) 参考図書数ページ 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 まぁ大した発見じゃないだろうけど、しれっと学術ブログの方にでも投げとこうかな？ 現場からは以上です。

空気になりたい凡人です。 洗濯物干したかったのに雨降りだしたわ。やはり天気は敵である。 今日やったこと htmlの学習（0.3章 8章の再来 むっちゃ長い） 参考図書3ページ 自由学習 について 初等整数論 合同式の復習 今日できなかったこと なし！（頑張った自分） 明日やること htmlの学習（0.3章じっくりやろう） 参考図書数ページ 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 大学からの圧でだんだん内心いやになってた数学が、進学ではなく独立してやるぞと考えてからすごい気が楽になった。好きな数学をビジネス化しないといけない研究職は社会貢献できる化学や生物系でないなら個人でやる方が縛られずやれるて…

空気になりたい凡人です。 ついに大学院の最終希望調査を提出したことで博士の芽はなくなった。 未練ももちろんあるが、自分のやりたいことはそこにはなかった。それならば、やれる可能性が少しでもある企業に行くことが最良であろう。 そう信じたい... 今日やったこと htmlの学習（１章分 そろそろ何か作ってみようかな） 参考図書1ページ（最近ダラシネェナ） 自由学習 次数付き環 初等整数論を少し 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること htmlの学習（１章分） 参考図書1ページ（最近ダラシネェナ） 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 いろいろ今後もしんどい（生きるのがしんどい…

今これを見てくださっているあなたへ、ありがとうございます。 pAliceと申します。パリスと読みます。 integer(これは存在する英単語です)やイントと呼んでいただいても構いません。 混同の恐れが無ければなんでもいいです。 早速ですが、「今ご覧いただいているこの記事」と今後私によって書かれるであろう「これ以外の記事」は本質的に性質が異なります。 簡単に言えば、この記事は後者の説明書という立ち位置を想定して書いています。 ご覧いただける方は以下にお進みください。 このブログの存在意義とこの記事の役割 記事の読み方 私 もしかして：友人 このブログの存在意義とこの記事の役割 まず最も基本的なこ…

Book Review 14-3 数学 ＃素数の音楽 『＃素数の音楽』（マーカス・デュ・ソートイ著）を読んでみた。著者はオクスフォード大学数学研究所教授。多数の専門書執筆のほか、新聞・雑誌に寄稿、BBCで数学番組を監修。本書は世界的ベストセラー。その他の著書に『知の果てへの旅』『レンブラントの身震い』など。2010年、科学への貢献に対し大英帝国勲章が授与される。 素数とは、その数自身との外には約数がない正の整数のことである。この素数に多くの数学者が捕らわれてきた。素数の出現はランダムのように見えるが、なにか法則がないかを探す。素数は謎に満ちた存在であるという発想自体がすごい。本書は「リーマン予…

はい、朝倉書店「解析的整数論Ⅰ」、挫折しました。 14ページ読んだ所で、結局「分からないものに分からないものを足していく感覚」が早くも退屈さを生んだためです。 こればっかりは、ただ数式が読めるだけではダメで、数学そのものの前提知識が必要でした。 その知識を掘り下げさえすれば読めるようになるんだろうけども、今はそのタイミングではないらしいので、やる気がどんどん失われて行きました。 やる気、ゼロに収束。 というわけで、早速、日本評論社の「シリーズ宇宙物理学の基礎」第一巻を注文しました。 物理学に出て来る程度の数式だったら読めます。 www.nippyo.co.jp