ある関数 (微分可能であるとする) を微分することで新しく得られる関数. もとの関数の増減を表す.すなわち,導関数が正である区間ではもとの関数は増加をつづけ,導関数が負である区間ではもとの関数は減少をする.導関数が 0 になる瞬間ではもとの関数の増加・減少が止まり,そこで極値をとる可能性がある.
*リスト::数学関連
微分は物理において、速度や加速度の定義に用いられています。今回は、微分についての基礎的な部分の解説となりますが、図形的な意味などを理解するようにしていただきたいです。 サイトを設立しました。 こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。 →高校物理/炉けーのブログ →5-1.微分係数と導関数 →5-2.積分法 →5-3.様々な関数(分数関数/無理関数/逆関数/合成関数) →5-4.極限 →5-5.微分法とその応用 →5-6.積分法の応用 →5-7.よく使う積分の考え方と微積公式まとめ Twitterアカウント→@roke_blog 目次 1.微分係数 1-1.平均変化率 1-2.極限値 1…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 目次 ・今回の問題 ・今回の問題について ・今回の問題の解説 ・いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜 今回の問題 今週は生徒の解答間違い探しです。問題に対する生徒の解答に致命的なミスがありますので、それを探してみてください。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 極値に関する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 生徒の解…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は文章題について解説します。 今回は微分を使って解く文章題です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 球に内接する直円柱の体積の最大値を求める問題です。問題文については上の画像をご参照ください。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 空間図形の対称性を使って直円柱の高さを文字でおく 図を描くとこのようになります。青が球、赤が直円柱で…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は問題の選定の都合上、1956年東京大学2次試験の解析Ⅱの第1問です。 今回の問題の原文 次の関数の最大値および最小値を求めよ。またそのときのの値はいかほどか。 ただし、とする。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 三角関数の最大・最小問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は中高共通第4問です。 今回の問題の原文 で極大値をとり、で極小値をとる4次関数を求めなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 極値から4次関数を求める問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 極値の条件が与えられていますので、導関数を求めておく必要があり…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は中高共通第4問です。 今回の問題の原文 である定数に対して、とおく。関数の増減を調べ、極値を求めなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 積分で表された関数の極値を求める問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 関数の増減を調べるときは、導関数の符号を調…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は首都大学東京2007年・2008年の問題です。 今回は2007年文系学部前期日程第1問と第2問です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 さいころ投げの問題と条件が与えられたときの最大値を求める問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 (1)前半は確率の問題です。 2次方程式が実数解を持つ条件は判別式が0以上のときですの…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は東京女子大学2022年の問題です。 今回は文系学部2日目第2問です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 定積分と導関数を用いて整式を求める問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 この問題は係数にある定積分の値と極値を取ることをヒントにしてを求める問題です。 とおくと したがって、…①となります。 がで極値をとることから…
xについての関数L(x,a)を L(x,a)=1+x×L(x,a)^a と定義します。 L(x,2) はカタラン数の母関数なので、L(x,a) はカタラン数の母関数を一般化したものと思えます。 xについての関数『s,t』を 『s,t』=sC0+(s+t)C1×x+(s+2t)C2×x^2+……+(s+nt)Cn×x^n+…… と定義します。 sCuは組み合わせのことで、 sCu=s×(s-1)×(s-2)×…×(s-u+1)/u! という定義です。(ただし、sC0=1 とします。) 0以上の整数s,u について sCu を並べると、パスカルの三角形になります。 nを整数とします。 L(x,a)…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 今週は東京女子大学2019年の問題です。 今回は文系学部1日目第4問です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 絶対値を含む方程式の実数解の判別の問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 まずはの増減を調べます。 微分して導関数を求めるとですので、の増減は次のようになります。 したがって、この増減表からのとき極大値、のとき極小…
メモしようとしたんですがはてなブログは単純な数式しかサポートしてなくて書けなかったのでzennに書きました。 zenn.dev ざっくり導入だけ書くと、難波明生『計量経済学講義』にて、 最尤推定量は, (7.7)式を直交条件として用いたGMM推定量であると考えることができる. と書かれていまして、7.7式というのは対数尤度の導関数をスコアとした直交条件 になります。 ちょっと面白いなと思ったので、前提となる知識(モーメント法の紹介とか)ふくめてメモしてみました。 なおHamiltonの"Time Series Analysis"が元ネタらしくて、そっちも the MLE is the same…
前章で3次関数のグラフを考えた。そのときは、①導関数を求める。(微分する)②求めた導関数から増減表を作る③x切片、y切片、極値などを調べて、グラフを書くそ3手順で書いた。しかし、高次関数になると、求めるのが大変になりすぎる。そこで、大局的考察と局所的考察をして、グラフの概形を推定することを試みる。=大局的考察=f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+……+a₁x+a₀というn次関数を考える。このとき、最高次係数aₙの符号とnの偶奇によって、以下の4つのパターンに分類できる。 =局所的考察=n次関数が(x-α)^kを因数に持つとき、kによって、(α,0)周辺での挙動が特徴的になる。k=1のとき k…
「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。※あくまで、メモである。(見やすくは作っていない) 前回、微分をリミットの考え方で理解した。 「青色の図形f(x)におけるx座標がaの地点での傾きを考える。傾きには2点が必要なので、図形上にx座標がxの黄色い点を置く。黄色の点を赤色の点に近づけると緑色の線も動く。黄色の点が赤色の点に限りなく近づいたときにできる緑色の線の傾きを『x=aにおけるf(x)の微分係数』という。」(←ちゃんとした定義) しかし、実際に計算するうえで定義通りにやるとめんどくさすぎる。…
「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。※あくまで、メモである。(見やすくは作っていない) 高校数学の花形でもある「微分」がついにやってまいりました。ないものをあると思う想像力が必要な単元と言われ驚きましたが、頑張りました。 まず、極限。極限とは、「xがa以外の値をとりながらaに限りなく近づくとき、f(x)が一定の値αに限りなく近づく」という状況のことで、と書きます。 f(x)=α、g(x)=β(α、βはともに定数)が成り立っているとき、{f(x)+g(x)}=α+β {f(x)-g(x)}=α…
ニュートン法とは、実数値関数の根を数値的に計算する代表的なアルゴリズムです。 実数値関数の根を求めるとは、例えば以下のような方程式の解を求めることです。 $$ x^{3} + x - 8 = 0 $$ 関数の根とは、f(x) = 0になるxの値のことです。たとえば、中学校の数学の方程式の授業では、x2 - 4 = 0を解け、というような問題が出ます。答えは、x = 2またはx = -2のときです。これらの点が、関数f(x) = x2 - 4の根になります。 方程式の解き方には、解析的に解くやり方と数値的に解くやり方があります。解析的に解く方法は、数式をきちんと立て、その数式を変形して正確な解を…
活性化層 今回は、活性化関数に相当する活性化層を実装します。ただし、Softmax関数に関しては少し特殊なので次回に。 活性化層のインターフェース 活性化層は、基本的に行列を入力して、入力行列と同じ大きさの行列が出力されます。前回と同様、出力先を呼び出し元で与える場合と、メソッド内で動的確保する場合の2種類のメソッドを用意しています。 using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Single; namespace NeuralNET.Layers.Activation { /// <summary> /// 活性化層(活性化関数)が実装するインターフェース ///…
動機 1年半ほど前に、配属された研究室から、 「ゼロから作るDeep Learning―Pythonで学ぶディープラーニングの理論と実装」を貸与されました。しかしながら、卒業研究ではディープラーニングを使わなかったので特に読んでいませんでした。そこで、ゆっくりとこの本を読みながら自作のディープラーニングフレームワークを作っていこうと思い立ちました。実は、かなり前に深層学習の青本(第1版)を読んだことがあったので、「ゼロから作る~」は割とスラスラ読めました。この本は、青本と比べると内容は薄いですが、実装に重きを置いているため青本とは全く違った面白さがありました。www.oreilly.co.jp…
ご訪問ありがとうございます! 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします! 目次 ・今回の問題 ・問題の難易度について ・第1問 ・第2問 ・第3問 ・第4問 ・第5問 ・第6問 ・いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜 今回の問題 2023年愛知工科大学工学部の一般入試で出題された問題です。 2024年度の入試問題は公開されたら解いていこうと思います。 問題の難易度について 難易度は☆☆☆です。 2022年までと同じく第1問が記述式の問題、その他はマーク式の問題です。そこまで難しい問題は無いです。 難易度表記については以下…
scipy.optimize.approx_fprime 先日、フィッシャー情報量を対数尤度の2次の導関数から計算してみようと思い、ChatGPTに「pythonで数値微分するコードの例を出して」と尋ねてみました。 するとscipyの approx_fprime という関数が提案され、2次の導関数については approx_fprime を2回再帰的に適用する方法が提案されました。 これは例えば以下のように書くことができます。 import numpy as np from scipy.optimize import approx_fprime EPSILON = np.sqrt(np.finf…