多項式

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. （後述の定理 2 です.） ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「微分バージョン」みたいな公式です.

ABC159F O(NS)は間に合うので，次の二つが考えられる． 今見ている index を \(i \in N\)，部分和をとる区間を \([l,r)\) とする． (i): \(i \in N,\ s \in S\) を全探索， (ii): \(r \in N,\ s \in S\) を全探索， (iii): 多項式を使った数え上げ． 解法(i)まず，簡単のために通常の部分和問題を考えると， 今調べている \(i \in N\) に対して，使うか使わないかの2択を全探索． ここで，今までの和だけ決まっていれば，今までの選び方は区別する必要がなかったので， 状態をまとめることで高速化していた…

■ ■ 前回こんな問題を題材に 【問題】 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)(x+6)(x-7)(x+8)(x-9)(x+10)を展開した時、x^9、x^8、x^7の係数をそれぞれ求めよ。 もう少し簡単にしたこの式の展開から各係数の計算の仕方について書いてみました。 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24 x^4,x^3,x^2の係数の出し方で計算問題と場合の数のつながりを感じてもらえたかと思います。 今回は残るxの係数の出し方です。 xの係数はというと 4つの項(-1,2,-3,4)のうち1つはxを選んで残り3つは定数項を選ぶとい…

■ 多項式と場合の数のつながり ■ 算数、数学は四谷大塚の週テストのように習った単元ごとの確認テストであれば、何を考えれば（使えば）いいのかが明確なので点数は取れるけど、総まとめテストや入試問題となるとどれを使えばいいのかとたんにわからなくなって点が取れないということはよくあります。 それは単元ごとの理解はできていても、単元毎のつながりを意識して理解していないからです。このつながりを意識できるようになったら理解度は全然違ってくるはずです。 私の教え方のベースは各単元の理解をした上で、単元毎のつながりを意識するということです。 では今回はこの問題を題材にします。 【問題】 （x-1)(x+2)(…

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決しようと思います。 (上記の記事の内容を一部含みますので、合わせて読んでいただければ幸いです。) 【予備知識】 高校数学(数学Ⅱくらい)の知識があれば大丈夫です。 ラグランジュ補間 n=2のとき 次数の問題 n+1点でn次関数が決定される条件 さいごに ラグランジュ補間 今回利用するのは次の「ラグランジュ補間」と呼ばれるもの…

今回はシリーズ物から離れまして、〇次関数と書かれるものについて考えます。 高校数学で初めて学ぶ関数といえば2次関数です。 2次関数を学ぶ上で練習問題として出てくるのが「3点が与えられ、その3点を通る放物線の式を答える問題」です。 2次関数の話から 一般化と証明 部分分数分解への応用 さいごに 2次関数の話から （例) 2次関数 のグラフが3点 を通るとき、 の値を求めよ。 この問題の答えは , つまり となり、当然ながら答えはただ一つに定まります。 もちろん2点だけなら、 なども通りますから、不十分です。 これは必然なのでしょうか？ つまり3点を通る2次関数はただ一つなのでしょうか？ そして …

「構文付き変換手インスティチューション 2/n 実例：モノイド」でモノイドに関する実例を出しました。この記事では別な実例、多項式に関わるインスティチューションを紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} %\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}} \newcom…

数学が伸びきらない子を見ていると、勉強の雑さを感じる。言葉に対する雑さ。因数分解と素因数分解とは？そもそも因数とは？多項式とは？項とは？絶対値とは？分かりやすくかみ砕かれ過ぎている弊害なのだろうと思う。数学も言葉。日本語とは表現方法が違う。ならば数式の動作を日本語として理解しなければならないのだろう。解説を読んでも分からないことはあるだろう。だけれども言葉を知らなさすぎると、理解のスピードも変わってくる。言葉に対する感度を！動作と言葉の一致を！

ABC321F 問題概要 Muliset に対する部分和問題に，追加と削除クエリを与えたもの． 俗に戻すDPと呼ばれる． 解法 (0) まず，multiset が固定されている場合を考える． これは普通の部分和DP. とくに，配列を 1次元にした inplace DP で考えると， 今回の問題に応用するときに楽． (1) 次に，multiset に1つ元 \(x\) を追加または削除することを考える． 簡単な追加の方を考える． (0)の考えを用いると， \(dfor \ i \in [x,k]\) \(dp_{i} += dp_{i-x}\) という処理をしている． 削除の方も同様に， \(f…

随伴系、モナド、モナドのアイレンベルク／ムーア代数、自己関手のランベック代数、ベックの分配法則などを扱っていると、こういうモノ達を系統的に組織化したい、という気持ちになります。代数的構造の組織化のためには、ゴグエン／バーストル〈Joseph Goguen, Rod Burstall〉のインスティチューションが優れたフレームワークです。が、上記のような構造を扱うには幾つかの問題があります。 抽象的過ぎる。 構文を表現する手段が貧弱。 高次元のサポートがない。 そこで、具象的で構文を表現できて高次元（当面は2次元）を扱えるインスティチューションを考えようと思い立つわけです。もう何年も前からそう思っ…

というコーナーケースにやられた！ 問題へのリンク 問題概要 整数 が与えられる。 を で割った余りの一の位の値を求めよ。 (マルチテストケース) 制約 考えたこと まず最初に考えたのは「全体を で割った世界」で考えれば良いということ。 このことを正当化しよう。一般に、次のことが成り立つ。 整数 と正の整数 に対して であることと、 であることは同値である。 つまり、 を で割った余りを とすると、 と表せるが、これを全体に 倍して得られる は同値だということだ。 よって、この問題の答えは を で割った余りを求めて、 をかけた値 となることがわかった。 例外処理 ただし、 の場合は例外なので例外…

ニート生活最高！

現在２０２４年４月２１日１８時５３分である。（この投稿は、ほぼ１７６０文字）麻友「昨日の明け方、投稿した後、昼間寝てたの？」私「正直に書くと、一昨日（４月１９日）夜、２１時２３分に寝る前の薬（含む睡眠薬）を飲んで、眠くなりながら、４月２０日１時３３分まで掛けて投稿を書いていた。眠くなっていながら投稿を書いていたので、眠気が飛んでしまう。寝た方が良いからと、３時１２分追加の睡眠薬を飲んだ。この後、なかなか眠れず、確か７時頃眠る。この７時というのは、記録がないので、定かではない。そして、この日（昨日）は、１７時頃起きるまで、寝ていた」若菜「確かに、寝てたんですね」麻友「その記録を、見せてもらっても…

こんにちは. ぱいです. 京都大学の入試の過去問でこんな問題があります. 京大の過去問 (2006年後期) は有理数か？ この過去問の解答例はいろんなサイトで解説され尽くしているので割愛します. が有理数かどうかを考えたら, 今度は や についても次のような問題を考えたくなるのが人間のサガだと思います. 問題 や は有理数か？ この問題について, 代数的整数論を使ったスマートな解き方を思いついたので, その解き方を解説します. なお, 代数的整数論を知らない人にも分かるように解説しますので, 知らない人も安心して読んでください♪

問題 https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/problems/1644 マスのグリッドが与えられる。各マスは「.」か「#」である。「.」マスの部分集合であってそこに将棋の桂馬を置いたときに一手の移動でかぶらないような数を求めよ。解は巨大になり得るのでで求めよ。 制約

久しぶりにCTFに参加しました。cryptoのある程度以上の難易度の問題を解いたら満足してしまって、昔CTFを開催していたときに「この人いつも特定のジャンルの問題だけ解いて帰るな～」と思って見ていた人の気持ちってこういうことだったんだろうな、と思いました。 取り組んだ問題は面白かったし、解いていて楽しかったです。 [Crypto] AAAA [Crypto] CES [Crypto] AAAA ほぼ全てがマスクされたOpenSSH形式のRSAの秘密鍵を見せてもらえます。わかるのは鍵の一部のBASE64がTOKYO+INSTITUTE+OF+TECHNOLOGY+DIGITAL+CREATORS…

4月19日、Apink の13回目のファンソング 「Wait Me There」がリリースされました。ファンソングは歌手がファンへの感謝を込めたサービスを目的とした楽曲です。Wait Me There はリーダーのパクチョロンが作詞をしてます。 안녕 오늘은 어떤 하루를 보냈니 괜시리 난 기분이 좋은 걸 보면 우리 처음 만난 다가오 나 봐 こんにちは、今日はどんな一日を過ごしましたか 大丈夫、気分がいいのを見ると 最初の出会いに来てください。 Apinkは、デビューした 4月19日 を軸にコンスタントにファンソングを出してます。数多くのK-POPグループがありますが、これほどファンソ…

Twitter(旧X)の一部などで絶え間なく掛け算の順序問題は取り上げられる。 しかしながら割り算の扱いは冷淡である。(ホットであるべきだと思わない) これについて、初等算数の思い出として長年引っかかっていたエピソードがあるが、ツイッターで書くには微妙に長いので書いみる。 私が小学１年生の頃に通っていた公文では、指導とは問題を渡すことだった。良く言えば習うより慣れろがモットーで、算数の時間で具体的に生徒がすることは、 1. 『小学校低学年向け』とくくられた計算ドリルを『こどもの自発性』に基づいて解く。 2. それを出入り口の横の長机に座った数人の採点官へ持っていく。 3. ついでに『自発的な質…