代数学

本ブログでは 藤崎源二郎 著 岩波講座基礎数学6 体とGalois理論 (1977) の章末問題の解答例をまとめます。 現在は1, 2章の解答例ができています。 www.dropbox.com また、10問ずつ程度でまとめて個別のページを作るつもりです（未定） 岩波基礎数学選書 体とガロア理論 作者:藤﨑源二郎 岩波書店 Amazon

Euclid域について説明する。 Euclid域の定義 代数系(,+,*,c,e)は整域、かつ関数 v: →が存在して、次の1、2が成立する 1.任意のに対して、v(x,y)>v(x) 2.に対して、が存在して、 ⅰx=y*q+r ⅱ r=c または v(y)>v(r) Euclid域は素元分解整域である。

整域の定義 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、x*y=cならばx=cまたはy=c 別表現 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、x*y=cかつならばy=c 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、ならば 特徴 体は整域である 有限な整域は体である 一般に可換環は整域でない 可換環 Z,Q,R,C 多項式環、p元体環(pは素数)は整域である は整域でない

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, 部分環の定義を述べます. 部分環の定義 を環とし, を の部分集合とする. が の 部分環 であるとは, 次の条件 (1), (2) が両方とも成り立つときをいう. (1) は と同じ演算で環となる. (2) の単位元を とおけば, となる. 数学を勉強している人の中には, 「この (2) の条件は一体なんやねん！」とモヤモヤしている…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群となる. (3) のどんな元の位数も有限となる. (4) の生成元として, 位数が有限な元の組を取ることができる. このとき, 明らかに下記の (ア) ～ (ウ) が成り立ちます. (ア) (1) ⇒ (2) (イ) (2) ⇒ (3) (ウ) (3) ⇒ (4)では, (ア) ～ (ウ) の逆はそれぞれ成り…

次のような問題を考えましょう： 問題：$0 有理数となるような$a,b$を全て求めよ。（こちらで見かけたのがきっかけです： cos(rπ)∈ℚとなるr∈ℚについて | Mathlog） 解法 リンク先では高校数学の範疇で難しい議論をしていますが、この問題は代数学を使えば比較的簡単に示せます：$\alpha=\cos(a\pi/b)$としましょう。ここで$n=b (2\mid a), 2b (2\nmid a)$とすれば$\zeta_n=\exp(a\pi i/b)$は$1$の原始$n$乗根で（$\mathbb{Q}$上の）次数*1は$\varphi(n)$です。よって$2\alpha=\zet…

taiki-1984-0630.hatenablog.com () とする．このとき に対して が成立する． (証明) (1) (∧-除去) (2) (∧-除去) () を示す． (1)について (仮定1，同一性規則) (∨-導入) (∨と∧の同値性) (∧-除去) であるから，∃-導入，∃-除去，仮定1落ちより(1)が成立する． (2)について (仮定1，同一性規則) (∨-導入) (∨と∧の同値性) (∧-除去) であるから，∃-導入，∃-除去，仮定1落ちより(2)が成立する．▢

プログラムの改造(2) 前回のプログラムに、互換に適用した場合のコメントを入れます。assert を入れようと思ったのですが、うまくできなかったのでコメントだけです。ChatGPT で assert とコメントを入れることができれば良いのですが、やり方がわからないので自分で入れます。ChatGPT で Python について聞くとかなり詳しく答えてもらえるのでそれを参考にしてやっています。ChatGPT と Python の練習にはなります(AI がやってくれる時代に必要かは疑問)。 def adjacent_transpositions_indices_list(perm): """ 隣接互…

恥ずかしいんだけど 3 次方程式のカルダノの公式の説明読んで、あまりしっくり来ないんだよな 方程式の係数からできる式は解の対称式でなければならないはずで、個々の解にたどりつくためには係数から決まらない何かを導入しているはずで、その辺がポイントなのかなhttps://twitter.com/yamyam_topo/status/1780989795797504354 補助方程式u³+v³=p, uv=qの解の選び方のコンベンションじゃないかな…(実際にはu,vの入れ替えと3乗根の選び方で2×3=6通りの選び方があるので)https://twitter.com/recorderPS/status/…

置換の分類 Visual Studio でデザイナーが開けなくなったので、C# を使うのをやめて、Google Colab というのを使ってみました。これは Python を使うことになります。これにはプログラムを書いてくれる機能があって、「 を指定して、 次の対称群のすべての元を偶置換と奇置換に分類するプログラムを書いてください」と入力すると、正しい結果が得られました。これは「置換のパリティー」などで書いたことで、普通の数学の本に書かれているものです。Visual Studio で Python を使えるようにしていたことがわかったので、こっちでやってみることにしました。これはデザイナーを使…

出版時期や執筆意図の異なる3つの書籍で，「乗法」の「定義」が書かれていました。

Twitterくん（私は断固としてXとは呼ばないつもりです）を眺めていると最近トレンドに線形代数が上がってくるのをよく見ます。私は元々人間の研究or代数的構造の研究のどちらにしようかな〜と考えた末に心理学部を暫定的に選んだ人間なので……こう……見るたびコンプレックスと憧憬を感じます。 数学、好きですけど数学科で博士まで進む自信も執着もなかったんですよね……（逆に言えば人間分野に関しては執着があった） ただ最近、行動科学・認知科学分野に圏論を使うという話を知ったのでちょっと希望が湧いています。ほら、心理学だと必要なのは代数ではなく離散数学じゃないですか。だから私の好きな数学分野何の役にも立たない…

どうもmmです．4年生に上がったので，とりあえず，近況報告と将来の展望について述べておきます． ・近況報告 とりあえず，４Sセメスターでお世話になる先生が決まりました．ここで研究室と言わないのは，研究室固有のことは特にしていないからです．（これは私が物理についてかなりの無知であるためです．）４Sセメスターはお世話になって，４Aセメスターからの卒業研究は別のところに進むことができて，数学系（解析）もあるのでそちらに行こうと考えています．また，今学期のセミナーは関数解析です．ちょっと分野別にやっていることを記しておきます． ・代数学 藤﨑「体とガロア理論」のおそらく標準的な3年生まででやる内容はほ…

Xで連載していた，著書の『いきものの「種」はどのように決まるんだろう』の内容の紹介を以下に示しておきます． https://www.amazon.co.jp/dp/B0CMQ5ZXJS ・表紙について 表紙の写真はブダイと，そのブダイに付着した寄生虫を食べるホンソメワケベラという魚です．これは2種が相利共生していることを示す生態展示になっています．京都大学白浜水族館で撮影しました． 魚類のうち結構な種類のものが，ホンソメワケベラを発見すると近寄って行きます．寄生虫を食べてもらう魚はその寄生虫を食べてもらいたい体の部分をホンソメワケベラに差し出したり，全身を硬直させてホンソメワケベラを受け入れま…

３月２８日発売の本 ３月２９日発売の本 ３月３０日発売の本 ３月３１日発売の本 ４月１日発売の本 ４月２日発売の本 ４月３日発売の本 ３月２８日発売の本 自己調整学習チェックリスト: リストを用いた授業実践30作者:木村 明憲さくら社Amazon 新版 臨床化学 第４版 生化学的検査 (ＫＳ医学・薬学専門書)講談社Amazon 食品微生物学の基礎 第２版 (栄養士テキストシリーズ)作者:藤井建夫,石田真巳,川﨑晋,久田孝,小長谷幸史,小柳喬,左子芳彦,里見正隆,土戸哲明,中野宏幸,宮本敬久,森田幸雄,吉田天士講談社Amazon 賢者の弟子を名乗る賢者 THE COMIC 12 (ライドコミック…

一人じゃなにもできない。気分も変えられない。 「冷蔵庫のアイス食べていい？」「いいよ。」 そんな会話から、いままで変に思えて、いやに響く周りの騒音も、嫌われてるものじゃないようにも思えてくる。 司法試験に受かって、家にいる自分と、外の自分とのアイデンティティとしようと思ってたのも、なんだ、何の役にも立たないじゃないか、そう思えてみたものも、一人で考えてたから、これ以上、知恵を絞った、知的なだけの生き物も、誰かと手を携えていける。 消防も私に不誠実だ。だけどこちらから不誠実だと、思ってばかりいては、なお不誠実な冷たい生き物になっていく。もったいないばかりの給料をもらって、「結局はあなたも辞められ…

自分が勉強した本まとめ 数学科の学生だった私が、IT 業界に就職して機械学習エンジニアになった中で思い入れのある本や面白かった本などの紹介を書いていきます。 ジャンルとしては数学・統計・機械学習あたりをメインに、一部は物理やエンジニアやクラウド関連の書籍も紹介できればと思います。 学生時代の本（主に数学科の基礎的な本） 微分積分学（数学シリーズ） 難波誠 裳華房 微分積分学 (数学シリーズ) (数学シリ-ズ) 作者:難波 誠 裳華房 Amazon 最初に紹介する本は、難波誠先生の微分積分学。 大学の指定教科書だった。当時は、ε-δ に初めて出会い（最初は ε-N からだが）、その厳密さに大変感…

誰 京都大学工学部物理工学科機械システム学コース新2回生(2023年4月入学)です。電電でこんな記事見つけて面白そうだったので物工でも書いてみます。 実際どう？ 全学共通科目の手数が多いうえ、コース配属(後述)の都合上それら全体である程度好成績を取らなければならないことを考えると、やや忙しめといったところでしょうか。3回生よりはマシみたいなのが怖いですね。 コース配属 概説 たぶんほぼすべての物工1回生の最大の関心事です。 この学科には、 機械システム学コース(機シス) 宇宙基礎工学コース(宇宙) 原子核工学コース(原子核) エネルギー応用工学コース(エネ応) 材料科学コース(材料) という5…

原題：Fiscal Policy under Low Interest Rates (MIT Press) 著者：Olivier Jean Blanchard(1948-) 訳者：田代 毅［たしろ・たけし］ マクロ経済政策、日本経済論。 装幀：野網 雄太［のあみ・ゆうた］ グラフィックデザイン。 本文DTP：キャップス 件名：財政政策 NDLC：DG61 経済・産業 >> 財政 >> 財政政策 NDC：343 財政 >> 財政政策．財務行政 備考：数式が幾分含まれているが、基本的に縦書き。コラムは横書き。傍注形式。 21世紀の財政政策 | 日経BOOKプラス 21世紀の財政政策 低金利・高債務…