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ハミルトニアン
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ハミルトニアン

(サイエンス)
【はみるとにあん】

保存系の全エネルギーを表す量．

古典力学におけるハミルトニアン

簡単な説明

古典力学ではポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和である．
オイラー・ラグランジュ方程式は2階の微分方程式であるのに対し，ハミルトン方程式は1階の微分方程式であり，取り扱いが容易である．
ハミルトニアンはラグランジアンのルジャンドル変換によって定式化される．

定式化

一般化座標において，\partial_{\dot{q}} \mathcal{L}=\partial_{\dot{q}} T,\partial_{q} \mathcal{L}=-\partial_{q} V*1となる量として，ラグラジアン
\mathcal{L}(\dot{q},q)=T(\dot{q})-V(q)
を定義する．このラグラジアンの全ての経路による積分である，
S[ q(t) ]=\int \mathcal{L}(q,\dot{q})dt
という作用汎関数を最小にする経路が選ばれる．
この経路に沿って，オイラー・ラグランジュ方程式
\frac{d}{dt} \partial_{\dot{q}} \mathcal{L}-\partial_{q} \mathcal{L}=0
を満たしながら系が発展する．


qと正準共役な量をp=\partial_{\dot{q}} \mathcal{L}とする．
オイラー・ラグランジュ方程式より，
\dot{p}=\partial_{q} \mathcal{L}
が得られる．
ルジャンドル変換\mathcal{H}(q,p,t)=\dot{q}p-\mathcal{L}(q,\dot{q},t)でハミルトニアン\mathcal{H}を定義すると，ハミルトン方程式，
\dot{q}=\partial_{p} \mathcal{H}
\dot{p}=-\partial_{q} \mathcal{H}
\partial_{t} \mathcal{L}=-\partial_{t} \mathcal{H}
が得られる．これは1階の微分方程式である．


ポワソン括弧\{A,B \}=\partial_{q}A \partial_{p}B-\partial_{p}A\partial_{q}Bを用いて発展方程式
\frac{d}{dt}A=\{ A,\mathcal{H} \}+\partial_{t}A
と書くことができる．

量子力学におけるハミルトニアン

簡単な説明

量子力学におけるハミルトニアンは古典系のハミルトニアンより，正準量子化の手続きによって得ることが出来，系のエネルギーを表す．
特にシュレディンガー方程式やハイゼンベルク方程式に重要であり，時間発展を与える．

*1:\partial_{x}はxによる偏微分

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