要素を持たない集合。{}やなどと書く。例えば、(互いに異なる元a,b,cに対して){a,b}と{c}の共通部分は空集合となり、式では{a,b}∩{c}={}となる。 公理的集合論においては を満たすただ一つの集合 y の事を指す。 リスト::数学関連
命題1.2 9項 とする.このとき (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) が成立する(真). (証明) (Ⅰ)について 同一の原理よりであるから (∨-導入) を得る. (Ⅱ)について (∀-除去) の対偶 を示す. 補足 条件はであるが,論証は仮定の話(対偶)なのでを仮定してもと矛盾しない.この段階では各判断の真偽は知り得ない. 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 (3) 空集合の定義 2 (4) 2,3.¬-除去 (5) 2-4.¬-導入 (6) 1-5.→-導入 (7) 3.∀-導入 ゆえに対偶が真なる命題であり,元の判断も真なる命題であることがわかったので (元の判断も真なる命題) i.e. が示さ…
初めに、今回は'空集合'について述べていきたいと思います。 空集合(=∅)とは、ある二つの集合A,Bがあるとして、この二つの集合の間に共通の要素(=積)がないということを表します。 しかし、本来、集合とは、(少なくとも、)その内に要素を二つ以上持っていなければならないでしょう。 なぜならば、要素が一つしかないのであれば、それは"モノを集合させたことにはなりませんし"、要素の数がゼロともなればなおさらです。 したがって、二つの集合の間で共通の要素が見つからないばあいは、単に「空」とかいってあらわさないと適切ではないでしょう。 では、現代の数学のなにが間違っているのかといえば、空集合という要素を二…
蜃気楼(しんきろう)、『 (くう)』を『Φ(ふぁい)』との数学者 み
ファイバーの計算(「ファイバーの計算 基本概念」参照)において、バンドル-ファミリー対応は基本となる事実です。これは、スライス圏〈オーバー圏 | バンドルの圏〉とファミリーの圏が圏同値となることです。バンドル-ファミリー対応を短く書けば $`\mathcal{S}/K \cong \mathcal{S}^K`$ です。しかし、すこしだけ一般化して $`\mathcal{S}/K \cong \mathcal{S'}^K`$ という対応〈圏同値〉にしたほうが良さそうです。$`\mathcal{S}`$ と $`\mathcal{S'}`$ は同一の圏とは限りませんが、$`\mathcal{S'}…
「木と林(有向グラフ)」より: 頂点〈ノード〉の高さと林/ツリーの高さは、関連してますが別な概念なので混同しないようにしましょう。 別な概念は別な名前を付けたほうがいいですね。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}`$木と林(有向グラフ) その2 以上に定義した $`\mrm{Path}_* (\cat{S})`$ の形(アスタリスクはワイルドカード)をした圏を、圏 $`\cat{S}`$ のパスの圏〈category of paths〉と呼びます。「パスの圏」は、グラフから自由生成された圏…
「木と林(有向グラフ)」で、有向グラフの特別なものである木〈ツリー〉と林について述べました。(主に“ファイバーの計算”への)応用のためには、まだ必要なことが残っているので、そのまま続きと補足を書きます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\F}[1]{ {{#1}^{-1}} } % fiber \newcommand{\obj}[1]{ {{#…
複数個の対象についてランク付けをしてもらいたいことがあります。例えば、6種類のソーダ水をおいしさ順に並べてもらい、ソーダ水どうしのおいしさの差を見るなどが考えられます。今回は、そのデータをとるときに「順位の重複を許さないように判定する方法」を考えたいと思います。6種類を「5位・2位・2位・3位・6位・1位」などと評価してしまうと、2位が重複するとともに4位がなくなってしまいます。順序はさておき1位から6位までが一回ずつ含まれていると確認するにはどうすればよいでしょうか。 いちばん簡単な方法は集合の関数を使うことです。setdiffは二つの集合の差をとってくれるので、numbersに入っていてh…
ブール値関数の基礎事項をまとめる。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }% %\newcommand{\When}{\Keyword{When } }% \ne…
03/11(月) 午後3時過ぎ起床。半からインターン先定例会に参加した。 先週話に出たミーティングは1週間何も音沙汰がなかったのだが、3月中にやりたいですと言ったらいつの間にか自分が関係者に連絡を取ることになっていた。自分の認識ではトップダウンで動いてくれるという話だったはず。ただ、お手間をおかけすることになって気が引けていたからむしろありがたいことなのかもしれない。先延ばしにしてしまうのを避けるべく、すぐさま連絡の文面を練って定例会後に送信した。 勉強会はChatGPTを組み込んだゲームの話とVRChatでアバターにプログラムを仕込む話。後者はプログラムを書くために用意されているわけではない…
空集合(要素を一つも含まない集合)の記号∅を出力するには\emptysetを使う 空集合は $\emptyset$ という記号で表す。 → 空集合は∅という記号で表す。 高校の数学の教科書ではφ(\phi、ギリシア文字の小文字のファイ)が使用されるが、大学以上の数学では∅(アラビア数字の零に右上から斜線を引いたような記号)が使われる。
バタニン/マークル〈Michael Batanin, Martin Markl〉のオペラディック圏は、オペラッドを定義するための道具ですが、“ファイバーの計算”を抽象化したものだともみなせます。この記事では、抽象化する前の具象的な“ファイバーの計算”、つまり集合圏の部分圏における“ファイバーの計算”を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{…
今週のお題「大発見」 2020年に執筆した記事です。自分なりの大発見をドヤ顔で語った帰りにブログを書き、後から検索をかけると、類似記事を見つけたので公開には至りませんでしたが、折角なので公開します。 ------------------------------------------------------------------------------ このご時世だが、先日初めて会社の後輩と飲みに行った。後輩と言っても年齢は一緒だ。 程よく酔いが回った頃、中学生の頃から夢想している、多次元論についての自分の発見を語っていた。 中学生の頃、Newtonを愛読していた私は、多次元だとか相対性理論…
あらためて、移動等の、取引に付随する費用(含む時間、以下、移動等の費用)について整理してみましょう。 ミクロ経済学の部分均衡モデルや一般均衡モデルには、移動等の費用は出てきません。部分均衡モデルや一般均衡モデルが、移動等の費用がゼロであると仮定したモデルである、と錯覚しがちです。しかし、そうではなく、部分均衡モデルや一般均衡モデルは、移動等の費用がゼロであることを「前提」にしたモデルです。移動等の費用がゼロであることは、モデルを考える際の基盤となっているということです。暗黙のうちに、移動等の費用がゼロであることがモデルに取り込まれています。現実の経済から取引の部分だけを取り出したわけではありま…
「添加仮想二重圏」において、「フレーム」という言葉を出しました。フレームは、2-射(2次元の射)の境界のことです。境界は幾つかの1-射達/0-射達の組み合わせです。境界全体ではなくて、境界の一部分のことも「フレーム」と呼ぶことにすると、与えられたフレーム(境界の一部)に対して、残りの部分を充填〈filling〉して2-射を完成させる、という問題を考えることができます。このタイプの問題をフレーム充填問題と呼びましょう。二重圏や2-圏における重要な概念は、フレーム充填問題の解、特に“最良な解”として定義できることが多くあります。この記事では、二重圏のニッチ〈niche〉*1と2-圏のスパンを事例と…
Mathematics in LeanもC04 Sets and Functionsの最初の章である集合まで辿り着きました。ここでは集合に関する性質の証明方法のLean4での実現の仕方を知ります。 集合が等しいこと(A=B)を示す場合、ゴールをA=Bとして方法として、AがBの部分集合であり、かつBがAの部分集合であることを示すこと AがBの部分集合であることを示すにはAの任意の要素がBの要素であることを示すこと 空集合と全体集合の性質 和集合と積集合をメンバーシップの論理和と論理積 集合族の積集合と和集合 のようなことがここでは解説されています。ここでは上記の初めの2つについて簡単な命題を示し…
熊野寮に何年も住んだ人間として、「自治寮の良さ・悪さ」、それらを包括した価値について、語らなければならないと思うようになってきた。自治寮については、世間に十分に理解されているとは言い難い。要因としては、いくつも考えられるだろうが、以下のような指摘もあった。ものすごい問題点として、政治党派以外の人が大学自治や学生自治のコンセプトを一切言語化しないというのがありましてね…— TCN (@TCN_Kyoto_TPU) 2024年2月19日 彼(彼女?)は、政治党派以外の人間が、大学自治や学生自治のコンセプトについて言語化しないことの問題性について述べている。学生自治寮における「自治」は、当然のことな…
やっとですよ。
02/12(月) 午前4時に一瞬目を覚ましたらしいが、早々に二度寝に入ることができた。午前7時起床。布団に横たわったまま昼までずっとなろうを読んでいた。 午後1時頃に布団を脱出。今日は建国記念の日の振り替え休日だからインターン先定例会は行われないし、生協も営業していない。なので夜中までずっと先週の週記を書いていたが、案の定なろうに気を取られたりしており、あんまり捗った感じはしなかった。 日付が変わる前に投稿した。久しぶりにコンテストの感想をいくつか書けたが、週末のコンテストまではたどり着けなかった。週末は基本コンテストに出る以外の行動をしていないため、そこが埋まっていないと本当にスカスカになり…