数学的帰納法

今回は、数学的帰納法の例題について（とても余計な？）解説を致しております。 大事なお知らせもあります。是非、ご覧ください。 私の第二ブログ、 「 心穏やかな日々のために 」 https://odayakakokoro.hatenablog.jp/ は、更新を中止しておりますが、公開は継続中です。こちらも宜しくお願い致します。 大事なお知らせです 拙ブログを訪れて頂きまして有難うございます。拙ブログは今回で更新を停止致します。今後 「高校数学１ミリメートル」は"note" にマガジンとして書き続けていく予定です。 暫くは、はてなブログに掲載の「高校数学１ミリメートル」を推敲や編集をして転載してい…

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は中高共通第4問です。 今回の問題の原文 正の実数からなる数列の初項から第後までの和をとおく。数列がを満たすとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。 (1)を求めなさい。 (2)を予想し、それが正しいことを数学的帰納法により証明しなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 漸化式から一般項を予想して、それが正しいことを証明する問題です。 難易度表記については以下の記事をご…

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は中高共通第3問です。 今回の問題の原文 を自然数とするとき、次の等式を証明しなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 和の公式を証明する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 証明問題には仮定と結論がありますので、それに注意深く解いていかなければいけま…

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は2006年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。 今回は中高共通問題第3問です。 今回の問題の原文 という関係で定められた数列がある。次の(1)、(2)の問いに答えなさい。 (1)を求めなさい。また、この数列の一般項を推定しなさい。 (2) (1)の推定が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明しなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 漸化式から一般項を推定して、それが正しいことを示すタイプの数列の問題です。 難易度表記につい…

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は教員採用試験で出題された総合問題です。 今回は2002年新潟県教員採用試験で出題された数学的帰納法の問題です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 数学的帰納法に関する指導法の問題です。数学的帰納法を知っていれば解けるように設定しましたのでこの難易度とさせていただきます。 実際の問題文は次のようになっています。 数学的帰納法を導入する場面で「すべての自然数においては13で割り切れる」という命題が正しいかどうかをクラスの生徒に少し時間を与え、考…

ただでさえ苦手な証明問題。ましてや数学的帰納法なんて、と思われている方へ、私が贈る迷講義 ？？ 拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。 御閲覧頂くに当たりましては、このリンク先ページの御一読をお願い致します ( お暇なときに、ケチでもお付けになりながら気分転換程度にお読み頂くのが宜しいかと・・・) 前回の解答解説 以下、\(n\) は自然数 ( 1以上の整数 ) とする。 初項 \(a \) 公比 \(r (\gt 0)\) の等比数列 \(a_{n}=ar^{n-1}\) の、初項 \(a(=a_1)\) から第 \(n\) 項迄の和 \(S_{n}…

ただでさえ苦手な証明問題。ましてや数学的帰納法なんて、と思われている方へ、私が贈る迷講義 ？？ 拙ブログを訪れて頂きまして、有難うございます。月に1~2回程の更新を心掛けます。 御閲覧頂くに当たりましては、このリンク先ページの御一読をお願い致します 前回の解答解説 以下、\(n\) は自然数 ( 1以上の整数 ) とする。 初項 \(a\) 公差 \(d\) の等差数列 \(a_{n}\) の、初項 \(a(=a_1)\) から第 \(n\) 項迄の和は次の通りである。 \[ S_{n} = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n-1)d \}\ \tag{1}\] この (1) 式…

問題 連続関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ であって、次の条件を満たすものを特徴づけてください。 $$ f \left ( \frac { x + y } { 2 } \right ) = \frac { f(x) + f(y) } { 2 } \ (x, y \in \mathbb{R}) $$ 答え 答えは一次以下の多項式関数、つまり $f(x) = a x + b \ ( a, b \in \mathbb{R})$ で書ける関数です。 証明 項数 $3$ の等差数列は $f$ により等差数列に写ります。従って数学的帰納法により任意の（有限項の、従って無限…

最難関と聞いて。なんと3問ともがD問題です。第1問 難度：Ｄ**** かかった時間：42分40秒答えは割とすぐに予想がつきますが、論証が難しい問題です。(1)こういうのは小さいnで実験してみます。新しく塗ったとこは赤。 a_1＝4 a_2＝10 a_3＝19このあたりでなんとなく、「a_n－a_(n-1)＝3nか？」と予想がつくかと思います。ならばよくわからん数列の最終手段「答えを予想して数学的帰納法で示す」の出番でしょう。そうは言ってもどう示せばいいのかがよくわからなかった。最初は「形状」の規則性を示そうとしていたのですが、これが上手くいかず。どういうことかというと… こういう風に、正三角形…

前回は，2つの正の数の積は，その正の最小公倍数と，最大公約数の積であること[定理1.5]と，が互いに素でがの倍数ならば，はの倍数であること[定理1.6]を証明しました． 今回は，実際に最小公倍数と最大公約数を求める方法についてです． 實際ニ，與ヘラレタル（正ノ）整數ノ最大公約數，又ハ最小公倍數ヲ求メル方法ハ周知デアルガ，コノ際，念ノ爲ニソノ理論的ノ根據ヲ叩イテオクノモ無用デハアルマイ． 最大公約数を求めるには，ユークリッドの互除法を用いるか，2つ以上の整数を素因数分解して指数部分の最小値を見ていくかすればよいです． 最大公約数の筆算（すだれ算）というのもあります．例えば，の最大公約数は次のよう…

ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 (1) 競プロの問題として (2) 数学の問題として: 形式的冪級数 *1 (もう少し dp に寄せた方法) (3) 数学の問題として: 行列 2024/04/10 (3) を追記しました。 次の問題を考えてみましょう。$1$ 以上 $5N$ 以下の整数の集合 $ \{1, 2, \cdots, 5N\} $ から$0$個以上の整数を選ぶ方法は$2^{5N}$ 通りある。このうち、以下の条件を満たす方法は何通りあるか。条件: 選んだ整数の集合の要素の和は $5$ で割り切れる。(ただし空集合の要素の和は $0$ と定める) (1) 競プロの…

著者：石川 博［いしかわ・ひろし］(1956-) ソーシャル・ビッグデータ、データベース、知能情報学、Web情報学。 Cover Design：小山 巧［こやま・たくみ］ Shiki Design Office 件名：ビッグデータ--データ処理 件名：仮説 NDC：007.609 情報学．情報科学 >> データ処理．情報処理 >> データ管理 仮説のつくりかた - 共立出版 仮説のつくりかた: 多様なデータから新たな発想をつかめ作者:石川 博共立出版Amazon 【目次】 口絵写真（17枚） [/] はじめに（2021年8月 柿生にて 石川博） [iii-iv] 目次 [v-vii] 第1章 …

論文というか読み物の構成をどうしようか、と考えている。 できる事なら、小学校高学年くらいの子供にも理解できるような内容にしたい。 ちゃんと書こうと思うと、いろいろ下調べする必要がでてきちゃうけど、僕自身がそれほど詳しく調べた事がないテーマを、付け焼き刃で調べて書いても、参考文献程度の情報量にしかならないと思うので、そういうのはむしろ思いきって省いてしまった方がいいのかもしれない。 書く順序についても、下敷きになる部分からだんだんと突っ込んだ内容にする書き方と、逆に最初から面倒くさい内容から入って行って、予備知識的なものを後ろにまとめてしまうという書き方もあると思う。いわば、ボトムアップ方式とト…

大変申し訳ございません。というのも半年以上これをほったらかしていました。パスワードを忘れてログインできなくなっていたところです。 ところでこの謝罪は誰に対してのものなんでしょうか? ド・モアブルの公式の証明 iを虚数単位としたときに(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ というのがド・モアブルの公式ですが、これはよく数学的帰納法を用いて0以上のnについて示して、その後-nに置き換えるというやつです。 (cosθ+isinθ)-n=1/(cosnθ+isinnθ) =cosnθ-sinnθ=cos(-nθ)+isin(-nθ) みたいにしてやるやつですよね。 今回は正も負もまとめて…

まえがき こんにちは、ARC173で水落ちした獅子座じゃない人です。 ARC173のE問題が単純な問題設定で一見単純な答えでありつつも、とても非自明な場合分けが必要であると感じました。 また、ARC-Eだけあって解説もとても行間が広く、行間を埋めたり別のアプローチをとって証明を試みたところ、さらに面白く感じたのでまとめます。 問題 atcoder.jp 元の問題文で理解できる問題設定だと思いますが、一応書いておきます。 長さの非負整数列が入力として与えられます。 非負整数の二項演算で、二進表記の各桁についてXORをとるものを、ビット単位XOR演算と定義しておきます。 を好きなように並び替えたも…

先日行われた2024年度の九州大学の後期数学を解いてみました。

結論から言えば、「与えられた連結な３正則グラフが辺３彩色可能、すなわち、次数３の頂点のみからなる連結なグラフが辺３彩色可能ならば、そのグラフにさら次数２の頂点を丁度２個付け加えた連結なグラフもまた辺３彩色可能である」事と、四色定理は同値である。

「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いております。数学特待制度についてはこちらの記事を見てください。※あくまで、日記です。（見やすくは作っておりません） 同じ学校の生徒にあって、驚いた。 今日は数学的帰納法について学んだ。演繹（抽象から具体）と帰納（具体から抽象）という考え方がある。例えば、「すべての自然数 n に対してP(n)が成り立つ」という命題があるとする。このとき、P(1),P(2),P(3),,,と証明しても寿命が有限なので終わらない。なので、無数の証明を連鎖的に行う「数学的帰納法」を用いる。主に、以下の2手順で証明する。①まず、P(1)…

2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、大阪大学の文系数学に挑戦します。 ※原則文系ユニークの問題のみ解きます。理系との共通問題については理系の記事を参照下さい。 2024年度 阪大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋