任意の2点x,yに以下の条件を満たす距離関数d(x,y)が定義されている集合Xを距離空間と言い、数学における距離の概念の抽象化である。
位相空間の内で距離空間は扱い易く、ハウスドルフ性、点列収束性、第一可算公理、εδ論法等が利用できる。
最も一般的な距離関数はn次元実数空間上のユークリッド距離で、任意の2点とに対してと定義され、例えば三角不等式はコーシー-シュワルツの不等式を使い示される。
有限集合Xに対しては、例えば連結グラフ(任意の2点がいくつかの辺で繋がっているグラフ)に対して、d(x,x)は0で、異なる2点x,yに対してはd(x,y)を2点x,yを繋げる最小の辺の数、と定義すれば距離関数の条件を満たす。
この他、p進距離と呼ばれる整数上の距離関数や、複素上半平面上の保型型式で利用される距離関数、空間で定義される関数同士の距離関数(∞≧p≧1)など多数の重要な例がある。
問いの例)実数直線上の次の関数の内距離関数とならないのはどれか
い) でa>1
ろ)
は)
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