n 次の正方行列 A = が与えられたとき のことを A の行列式 という。ここに は n 次対称群で、 は の符号( が偶数個の互換の積に書けるとき 1 , 奇数個の互換の積に書けるとき - 1)を表す。
良く知られているように、A が正則、すなわち逆行列を持つための必要十分条件は である。
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今回は7次対/完魔方陣の中にもバボア構造が組みこまれているかもしれない、そのようなお話となります。
さて、5次の魔方陣世界には、対称魔方陣であり、かつ、完全魔方陣であり、さらに正規相愛魔方陣である魔方陣が全部で4種存在していました。そして、現在のところわたしたちが知る5次正規相愛魔方陣というのもまたこの4種のみとなります。
さて、5次の魔方陣世界には、対称魔方陣であり、かつ、完全魔方陣であり、さらに正規相愛魔方陣である魔方陣が全部で4種存在していました。前回までに、これらの魔方陣と行列式(4×4)の関係を見ましたが、今回は、行列式(5×5)がどうなっているかということを見てゆきたいと思います。
さて、5次の魔方陣世界には、対称魔方陣であり、かつ、完全魔方陣であり、さらに正規相愛魔方陣である魔方陣が全部で4種存在していました。調べてみると、この中でもとくにⅠ型とⅡ型は強力なちからで結びついていることがあきらかとなります。
さて、今回は6次半二重魔方陣の核子体というものをご紹介します。核子体はどの魔方陣にも存在するもので、いわば魔方陣のレントゲン写真、その本質的な構造を抽出した骨格のようなものです。具体的にお見せしましょう。
さて、ここまでわたしたちは6次半二重魔方陣に内包されるブロック格子の行列式が顕著な値をとるという事実を目にしてきました。
さて、前回は6次半二重魔方陣にバボアを適用すると、行列式の値に正負の対称性があらわれるという謎の事実をたしかめました。
さて、今回はガラリと趣向を変えて、この6次半二重魔方陣をバボア構造を通して眺めなおしてみたいと思います。
非圧縮性流体解析では,圧力を陰的に取り扱うため,圧力の解法がMAC (Marker And Cell)系解法あるいはSIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)アルゴリズムによらず,圧力あるいはその補正値を求めるためには連立方程式(あるいは行列式や線形システム)を解く必要がある.流体解析に要する計算時間の大部分(一般に,80%以上)は行列式の解法となる.そのため,高速な行列式の解法を用いることで,計算時間を大幅に削減することが可能となる.ここで,行列式の解法は, 直接法 間接法 に大別される.有限体積法における解くべき行…
勉強 行列式のお勉強をした。 余因子展開 - Wikipedia がわかりやすい。 行列式の展開 次行列 を考えよう。 から 行と 列を省いた行列の行列式に を乗じたものを とする。また、除外した成分を のように書く。 行列式は列に関して線形かつ交代的なので、 列についての線形和を考えると、 行に関する展開も同じようにできる。 このような行列式の表し方を余因子展開という。 行列式の微分 次行列 が の関数で、各成分が微分可能なとき、行列式 も微分可能。 個の置換を 、 を置換の符号とすると、 は積の微分法を考えれば微分可能。 行列式を余因子展開を考慮して計算すると、 日記 出来事 断酒13日目…
力学とは物理学の一部門ですが、感覚としては物理の主要な部分であると感じます。 しかし中高でごく基礎を学び、大学でも教養でわずかに学んだだけでとても十分に理解できているとは言えませんでした。 それでこの本を読んでみたのですが、やはり理解しづらいと感じてしまいます。 微分積分方程式やベクトル、行列式など、数学で跳ね返されたように感じるものが続々と出てきます。 まあ重要であることは分かるのですが、やはり難しいというものです。 あとがきに記されていた「力学の基本の要約」というのを引用しておきます。 1力学の主要な理論はニュートンの3つの運動の法則と万有引力の法則だが、これらと共に物理量の性質を知る必要…
前回のあらすじ 境界曲線の特徴 2次のテイラー展開の数値計算 楕円の方程式とテイラー展開の関係 シミュレーションの結果を心眼でみる まとめ 前回のあらすじ 前回では「スクラッチカードシミュレーション」の結果を分析し、条件を満たす領域の境界を抜き出す作業を数値的に行なった。その結果、滑らかな曲線とおぼしき境界線が出てきた。これがどんな方程式によって作り出されているのか、今回は数値的に求めてみたい。 境界曲線の特徴 パッとみた感じは、$x=0$の頂点を持つ放物線のように見える。しかし、$(x,y)=(1,1)$の近傍で傾きが無限大、つまり垂直な直線が曲線の接線になっているように見えるので、これは放…
一瞬、「行列式ってなに!?」となるかもしれない。しかし、式が書いてあるので、それを使えば OK。 問題へのリンク 問題概要 整数 が与えられる。 の値を出力せよ。 解法 問題文には「行列式」とか書いてあって、一瞬ビビるけど、ビビる必要はない。行列式を知っている必要はない。単に の値を出力すればよい。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int a, b, c, d; cin >> a >> b >> c >> d; cout << a * d - b * c << endl; }
今回は陰関数定理です。僕は数学者が考えるような複雑な概念は理解できなくて、今回の定理についても数学的背景を完璧に理解しているわけではありません。よってここではタイトルにあるように手段としての陰関数定理を述べようと思っています。使い方だけがわかればいいよ!みたいな人向けです。そこを妥協できればただの作業ですから、肩の荷を下ろして一緒に見ていきましょう。 陰関数定理って? 陰関数定理自体は、ある条件を満たす陰関数(ex. F(x, y) = 0)は陽関数(ex. y = f(x))で表すことができるというものです。僕みたいな工学部の人間で数学を詳しいところまでつめてやらない人にとっては、関数の条件…
オイラーの定理とは オイラーの定理ってたくさんあるんですが、今回のオイラー定理は回転に関するものです。オイラーの定理 3次元空間の任意の回転 はある回転軸 の周りのある回転角 の回転である。回転行列を何回も掛けた回転行列でも任意軸回りの回転で表せるってことです。 回転の定義 本記事で使用する は以下を満たすとします。式 は が直交行列で、行列式が1であるということです。 簡単に言うと、 は普通の回転行列であるということです。 意味が分からない人は、参考文献読んでください。 証明 さて、オイラーの定理を証明しましょう。 の1つの固有値を とし、対応する単位固有ベクトルを とすると以下が成り立ちま…
前提 線形独立、線形従属を理解していること 線形空間、基底、行列のrankについて知ってるとなお良いです。 本記事ではxor基底についてコスパよく理解させることが目標です。 もっと厳密に学びたい方はこちらなど。 qiita.com 問題 この問題に沿ってxor基底を学びます。 atcoder.jp 数列Aの要素を組み合わせてXORを計算し、できあがるものを集合にします。集合で小さい順にL番目からR番目まで列挙するという問題です。 解法の方針とXOR基底 L, Rについてはこういう問題にありがちな上のビットから順番に考える二分探索を使いますが、本記事では述べないことにします。 実は、できあがる集…
タッチタイピングって記号と数字部分の難易度クソ高い。 そのせいで人生損している気がする。 そんなことはどうでも良くて、今週から勉強や作業にぽもどーろたいまーを導入した。そのおかげかやった時間が成果として見えるようになるため、とてもモチベーションが上がっている。今週はとても人生が動く週だった。こつこつやるのが一番強い。 行列式の計算で午前を潰したこともいつか笑い話になりますように、、、
受験したきっかけ 1回目(7月):不合格 対策 本番 結果 2回目(10月):合格 対策 本番 結果 1級について しばらく記事を書かない間にいろいろなことがあったので、それについて書いていこうと思います。(TeXとかLaTeXで数式書くのが時間かかりすぎて更新を辞めてしまっていました。※LaTeXとTeXの違い分かってません。) 今日は、数検(実用数学技能検定)に合格したことについて書いていこうと思います。 受験したきっかけ 俺はうちの高専の数学愛好会に所属してる。まあ愛好会っていうのは、部活みたいなもんです。 たぶん、人数とか規模が大きくなってくると、部活に昇格できるんだと思う。(知らんけ…
[0] 扱う問題 問題解説も同時にするので、問題を先に見たい人はここを開いて、適当に検索してください。 扱う問題一覧 ABC 336 G Codeforces 925 G AGC 051 D ARC 146 E Codeforces Hello 2024 E ARC 117 E yukicoder No. 310 [1] 概要 BEST theorem (BEST 定理) とはオイラーグラフのオイラー路の数え上げに非常に有効な定理です。 この定理を用いることで解くことができる競プロの問題に対する解法と、その実装例を紹介します。 実装は全て c++ gcc で行っています。 [2] BEST 定…
複素数対応・任意の正方行列を計算するアプリ「n次行列計算」をリリースしました! このアプリでは任意の正方行列の行列式、逆行列、固有値、固有ベクトルを求めることができます!複素行列や、固有値が複素数になる場合にも対応しており、現在App Storeで配信されているアプリでは、唯一の機能となっております! 通常は200円で配信しておりますが、この春大学に入学する大学生のために4/30まで『無料セール』を行なっております。新大学生も、そうでない方もこの機会にぜひダウンロードしてください! ダウンロードはこちらから↓ 【アプリの特徴】 このアプリには大きく分けて7個の特徴があります! 1.複素数に対応…
基本的な数学関数 関数 説明 SUM(range) 指定範囲の合計を計算します。 AVERAGE(range) 指定範囲の平均を計算します。 MIN(range) 指定範囲の最小値を見つけます。 MAX(range) 指定範囲の最大値を見つけます。 COUNT(range) 指定範囲内の数値の個数をカウントします。 テキスト関数 関数 説明 CONCATENATE(text1, text2, ...) 複数のテキストを結合します。 LEFT(text, num_chars) テキストの左側から指定した文字数を返します。 RIGHT(text, num_chars) テキストの右側から指定した文…
「アクチュアリー」は実質的に閉じた世界であり、アクチュアリー試験についても就活についても情報が外部に回ってくることはそう多くありません。かつて就活という情報戦で苦労した自分のような人のために、去年のことを思い出しつつ、ブログという形で公衆の縦覧に供する媒体で書けるところだけ書こうと思います。 概要 この日記で書く大きな流れとしては ・自分の就活の流れ ・感想 という感じです。 よろしくお願いします。 前準備 12月のアクチュアリー試験まではその勉強に集中し、2月の結果発表で3科目取れていました。後述する数理試験では、アクチュアリー試験に合格する能力があるかを見ているので、ここで数学を取れていれ…
内容 SLAMやsfm等をエッジデバイスで動かす際に、軽量なHarris corner detectionは今なお広く用いられている。なんとなくは理解していたが、コーナー検出のための具体的な発想や式の意味を咀嚼しきれていなかったので記事としてまとめてみた。 最初にコーナーを検出するためのアイデアを感覚的に捉えて、それを数学的にモデルにするにはどうしたら良いかを後半に記載した。コーナーネスの式の意味がいまいち捉えきれていない初学者等の理解の助けになれば幸いです。 目次 1.コーナ検出とは 2.Harris corner detection 3.まとめ 4. 参考文献 1.コーナ検出とは 特徴点検…
ノート:2次元の線形写像の幾何学的な意味 - 滴了庵日録 の具体例を示す。 変換の意味 行列 A 行列式 |A| 固有値 λ 固有ベクトル x x方向に2倍 2 2, 1 y方向に2倍 2 1, 2 x方向に-1倍(左右反転) -1 -1, 1 y方向に-1倍(上下反転) -1 1, -1 xとyの入れ替え(y=xを軸に反転) -1 1, -1 x方向に0倍(y軸上につぶれる) 0 0, 1 y方向に0倍(x軸上につぶれる) 0 1, 0 x方向y方向とも2倍 4 2 (重根) 任意の非零ベクトル x方向y方向とも-1倍(上下左右反転=180°回転) 1 1 (重根) 任意の非零ベクトル x方…