自然対数の底

自然対数の底 e が無理数である証明以前の記事で, 円周率が無理数, つまり (整数) / (整数) と分数の形では表せない証明として, Nivenの方法を紹介しました. 今回は, 自然対数の底 が無理数である証明を紹介します. 自然対数の底とは, 次の式で定義される数です.\begin{align*} e &= \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\\ &= 2.718281828\ldots \end{align*} 証明.証明の手順 自然数 に対して, \begin{align} f_n(x) &= x^ne^{1-x}\\ a…

クリアー数学演習Ⅲ P29 64 解答 クリアー数学演習Ⅲ P29 64 解答 関数の極限。自然対数の底。関西大と東京理科大の問題です。

あまり表題の意味は深く考えないことをお勧めするとして、ここでは連分数を展開すると面白いパターンが生み出されることを報告しておきたい。 連分数は展開対象となる数の固有の性質を表している。応用範囲としてはペル方程式の解を求めるラグランジェの証明が有名だろう。有理数は有限回の展開で閉じるが、無理数は無限回になる。大学の教養課程でも連分数は扱わないようで、存在感が薄い。 しかし、インド人の数学教育では必須になっているとも聞く。特殊な超越数には規則性が出現することがまれにある。その例外の一つがネイピア数 e だろう。 WIKIにもあるようにネイピア数は下のように連分数展開できる。 ネイピア数の連分数 こ…

を満たす実数に対し、 \begin{equation} f(x) = \frac{\log (2x -1)}{x} \end{equation}とおく。必要ならばであること、および、自然対数の底がであることを証明なしで用いてよい。

2024/03/17 sun：pv 1994【記事総数：109(当記事含む)】 ブログテーマを Yosakoi に変更してみた。ブログテーマ Yosakoi【テ－マストア】： https://blog.hatena.ne.jp/-/store/theme/17680117126993484579 ブログテーマを変更すると、特に『はてな記法』との兼ね合いが従来とは微妙に変わるので(特にpre記法が…)、場合によっては『過去ログをいじる』必要に迫られるかもしれない。ナビ用記事はともかく、本当はやっちゃ駄目な事なんだけど…そのため、作成日と最終更新日の両方を表示する設定に変えてみた。 まず、ブログテ…

こんにちは！マルチーズ先生です。基本的な学力があれば必ず解けます。 【問題】とおく。ただし、は自然対数の底とする。このとき、次の問に答えよ。 の増減、凹凸、漸近線を調べ、グラフをかけ。 の逆関数を求めよ。 を求めよ。 【ヒント】 基礎学力があればヒント無しで解けます。 解答はyoutubeを見てね！ ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング参加中数学

A-13図1に示す静電容量C及び抵抗の回路の入力端子abに図2に示すバルス電圧を加えたとき、出力端子cdに図3に示す波形の電圧vo が得られた。このとき、図3に示す電圧vo1及びvo2の最も近い値の組合せとして、正しいものを下の番号から選べ。ただし、viを加える前は、Cの電荷は零とする。また自然対数の底をεとし、ε=2.7、ε-1=0.37、ε-2=0.14、ε-3=0.05とする。 なんだこれー コンデンサの時定数の問題です。 時定数について、詳しくはこちら… https://blog-info1.net/seminar/ltspice-transition_phenomenon/ 今回の問…

前回のあらすじ $f(x,y)=\log_x y$という「二次元」の問題 わかったこと pythonで数値計算 前回のあらすじ 対数関数にパラメーターを入れる二つの方法（割り算系と足し算系）を吟味した。 関連する性質についてのこれまでの考察に基づき、いよいよ最後の問題に対処しようと思う。 私の間違いは最後の最後の設問で発生し、それは自然対数に慣れ親しみすぎた結果であると 反省したのである。その反省を元に、すべて対数問題は自然対数に帰着させることで 解決可能であるとの結論に達した。その視点を今回応用し「対数関数マスター」の称号を 得んとするものである。 $f(x,y)=\log_x y$という「…

数学が苦手なうちのJKに、将来必要となるかもしれないデータ分析への抵抗感をなくしてもらう目的で記事を書くことにしました。 前回：高校生のためのデータ分析入門 (21)：成功？失敗？それなら二項分布！ - ねこすたっと 売店でたまにしか売れない商品、いくつ仕入れたらいい？ 稀なイベントの回数にはポアソン分布！ ポアソン分布の平均と分散 売れないキーホルダーが在庫切れになる確率 おわりに 売店でたまにしか売れない商品、いくつ仕入れたらいい？ 学校の売店はすごく繁盛してるんですが、月に2個くらいしか売れないキーホルダーが置いてあります。買いたい人が多くて品切れになったら困りますが、そんなに売れないも…

A-9 次の記述は、平面波が有限な導電率の導体中へ浸透する深さを表す表皮厚さ(深さ)について述べたものである。▭内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、平面波はマイクロ波とし、eを自然対数の底とする。 数式が出ない問題よき.... 表皮深さについては、以下を参照です。 detail-infomation.com A これは、まあ覚えたほうが早いです。 表皮深さは、導体表面の電磁界強度がまで減衰する距離を指します。 B 表皮深さは、電磁界がどれまで染み込むかを表した数値です。導電率は電気の流れやすさを表します。 導電率が大きければ、電気は導体表面を流れますので、あまり染み込み…

最近話題のnisaですが、 早く始めたほうがいいと思いつつもどんなものかがいまいちわかっておらず、 調べてみると、要するに 「ある程度までなら課税しないから家庭からの投資増やしてねー」 みたいな制度でした。 これを踏まえて考えると、普通の投資と成功確率はそんなに変わらないけど、 入手できる金額が増えるだけの制度だと思いました。 やっぱりリスク自体はそんなに変わっていないんですね。 そう考えると怖い気もしていましたね。 僕はもともとnisaは勝手にお金が入ってくるものだと思っていたのでびっくりです。 そんな簡単に儲かる話があってたまるかって話ですよね。。 でも、長期分散投資と言って、違う銘柄に分…

現在２０２３年１２月２７日１６時１２分である。（この投稿は、ほぼ３９４６文字）麻友「この問題だけで、随分かかっているわね」私「リンクを張ると、本の選定。mayuandtaro.hatenablog.com出題。27182818284590452.hatenablog.com欅って書ける？27182818284590452.hatenablog.com解答を始めた。27182818284590452.hatenablog.com と、歴史がある」若菜「今日こそ、決着を付けて下さい」私「そうだな。まず、電気についての常識を、若菜、説明してくれ」若菜「そうですね、まず、電気というものは、１個、２個と…

NHK「笑わない数学」シーズン1#1「素数」を見ました。 「素数」とは、1と自分自身でしか割りきれない数。よく知られている「素数」です。 ネタバレしてまずい事ももないと思うので、番組内容にも触れつつ素数について書いていきます。 「2以上の自然数は、素数の積で表すことができる」という素因数分解を習ったと思います。つまり、「素数は自然数の構成要素である」わけで、物質の構成要素が原子である事になぞらえて、素数は数の原子とも呼ばれています。 素数は無限に存在することがわかっています。今はコンピュータを使って素数を探すプロジェクトも進められていますが、現在わかっている最大の素数は、2486万2048桁あ…

次に「超越数」だ。超越数というのは聞き慣れない概念だが、「方程式の解にならない数」と定義される。ちなみに「方程式の解になる数」を代数的数と言う。言葉で定義するのは簡単だが、実際の数字を超越数であると証明するのは至難であったらしい。 超越数が最初に発見されたのは、１８４４年。ジョセフ・リウヴィル（フランス、１８０９～１８８２年）という数学者が人工的に作り出したリウヴィル数である。０．１１０００１００００・・・と大量のゼロの合間に時々１が登場するという変な数だ。次は、１８７３年、シャルル・エルミート（フランス、１８２２～１９０１年）によって、「素数」の回にも登場し、重要な役割を果たしたｅ（自然対数…

私は理科大好き人間なのだが、残念ながら、中学・高校時代から、数学という教科が甚だ苦手であった。勉強していてつまらないとは思わないし、物理は得意科目だったのに、なぜか数学がまったくできない（試験で点数が取れない）。そのため、大学では文系学部に進まざるを得なかった。 高校時代には、ほとんど大学入試のための道具でしかなかった数学だが、大人になってからは、この世にたくさんいる数学者たちが、いったい何をしているのだろう？と思うようになった。いつまで経っても研究することがある、ということも理解できないし、そもそも数学の論文というものがまったくイメージできない。数学というのはなんとも得体の知れない、非常に抽…