正則行列

与えられた３正則グラフを、位数３の体上のサイクル頂点行列に対応させると、その行列は次のような性質を備える事になる。

結論から言えば、「与えられた連結な３正則グラフが辺３彩色可能、すなわち、次数３の頂点のみからなる連結なグラフが辺３彩色可能ならば、そのグラフにさら次数２の頂点を丁度２個付け加えた連結なグラフもまた辺３彩色可能である」事と、四色定理は同値である。

部分群 ある群の部分集合であって、それ自身も群となるもの。 部分群 H⊂G とは、Gが群であり、Gと同じ演算に関してHが群であること。 H≤G と書くこともある。 (演算に関して閉じている) (単位元を含む) (逆元に関して閉じている) 例 (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+) (整数、有理数、実数、複素数の加法群) (4Z, +) ⊂ (Z,+) (加法に関して、4の倍数は整数の部分群) 1+4Z は Zの部分集合だが、加法に関して群ではない。 正規部分群 部分群 H⊂G が正規部分群であるとは、 つまり であること。 ここで、gH = {gh | h∈ H} を意味す…

この記事では正方行列の固有値と固有ベクトルについてまとめます。線形代数学の中でも固有値・固有ベクトルは主要トピックとして扱われています。本記事では主に固有値に焦点を当ててその応用例や事例について紹介します。固有値・固有ベクトルについて説明した動画や関連記事リンクは最下部に置いています。 行列の固有値 正方行列の特徴は？ 固有値の特徴 固有値の利用例 具体的な固有値の取りうる値について 簡単な固有値の例 1 × 1の行列（スカラ）の固有値 対角行列の固有値 三角行列の固有値 計算機による固有値の計算について 特異値 固有値の活用例（制御工学：極配置によるフィードバック制御） 固有値・固有ベクトル…

高校数学の順列・組み合わせについて聞かれると「それよく知らないんだよ」と答えていたのですが、「知っていたほうがいいかもな」と思って調べてみました。で、“組み合わせの数”の公式を正確に記述するのはけっこう難しいな、と感じました。“組み合わせの数”の公式は、群作用の軌道空間の基数（要素の個数）を勘定しているのだ、と解釈してみます。順列・組み合わせより、むしろ群作用の軌道空間のほうがこの記事の主題です。最後の節で、“組み合わせの数”の公式を記述します。$`\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcomma…

メモ書き ｢​｣

はじめに 基本定理ですがE. カルタンのレクチャーノート（1945）の証明をなぞってみたいと思います。 カルタンのレクチャーノートのコピー とその上の微分形式全体を考える。 は微分dを持つ次数付き可換環になっている。 原点で消えていない独立なk個の1形式 が与えられたとする。 をこれらの1形式から生成されるの生成イデアルとする。 ただし次数付き可換環のイデアルであって、微分についてはイデアルになっているとは限らない。 可積分条件 イデアルが微分dに関してもイデアルである条件、すなわち行列が存在して \begin{equation}d\omega_{i}=\sum\theta_{ij}\omeg…

先日以下の記事にしたように、LUP分解をすると正則行列𝐴に対して𝑃𝐴 = 𝐿𝑈という分解ができるのでした。𝐿は下三角行列、𝑈は上三角行列、𝑃は並べ替えの情報が入っています。 marui.hatenablog.com これを使って連立方程式𝐴𝑥 = 𝑏を解くプログラムを作ります。LU分解のときにお世話になったサイトをふたたび参考にします。 www.hello-statisticians.com このページの「𝑈𝑥 = 𝑦を𝑥に関して解く」の最後の式（𝑖 < 𝑛の時の𝑥𝑖の計算）の分母にある𝑢𝑖,𝑛は𝑢𝑖,𝑖じゃないといけないので、下記コードではそのようにしています。（コメントが受け付けられていな…

10月29日(日)にShibuya.lispのもくもく会がありました。残念ながら雑談の途中で中座しないといけなくなってしまいましたが、とても楽しかったです。この日のもくもく会の目標は「逆行列を計算できるようにすること」でした。実際は途中までしかできなかったのですが、そこまでをまとめておきます。 さて、逆行列を計算する方法をChatGPT 3.5に「正則行列の逆行列を計算する方法を列挙してください。方法の詳細には立ち入らないで大丈夫です。」と聞いてみたところ、以下の5つが回答されました。 行列式と余因子行列を用いる方法 ガウス・ジョルダン法を用いる方法 LU分解を用いる方法 行列の特異値分解（S…

正則行列の性質 14項 とする．このとき，が正則なら，も正則で が成立する． (証明) が正則であることを仮定し (1) が正則 (2) と書ける を示す． s.t. と置くと で表示される． (1)について 数に対して，数の性質より であり であるからは正則である． (2)について による．▢

正則行列(方程式が解をもつ行列) 14項 とする．このとき (1) (2) を成す． (証明) s.t. に対して (数) で表す． (1)について 数に関して積はその数の性質より正則である．なぜなら となるが少なくとも1個存在するからである． (2)について 数の性質より であるから，(2)を構成することができる．▢