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対称群

(サイエンス)
たいしょうぐん

与えられた自然数nに対して、n個の(異なる)文字の集合からそれ自身への一対一対応全体をn次対称群と呼び、S_{n}と書く。

例えば、S_{1}は{a}から{a}への一対一対応全体であるが、この場合そのような一対一対応はaをaに対応させる恒等写像のみなので、S_{1}={e}(eは恒等写像)である。またS_{2}は、{a,b}から{a,b}への一対一写像全体であり、ここではa→a, b→bという恒等写像の他に、a→b、b→aという置換写像が一つある。よって、S_{2}は今あげた2つの元から成る。

全ての群Gの任意の元gは、a→g a(a\in G)という写像と同一視出来るので、GからGへの一対一対応だと見れる。よって、全ての有限群GはS_{|G|}の部分群である。


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