圏論

(サイエンス)

【けんろん】

圏と圏論

圏（カテゴリー）は、ある公理系を満たすような構造全体を考察する際の“定式化の枠組み”を与える。例えば、すべての群（と群準同型写像）からなる圏、すべてのコンパクト・ハウスドルフ空間（と連続写像）からなる圏などを定義できる。一方、圏それ自体も一種の代数系とみなすことができる。

狭義の圏論は、圏を対象とした代数的（あるいはときに幾何学的）一般論であるが、具体例や応用から触発されて、特定の構造／性質を持つ圏を深く探求する分野も含めて圏論と呼ぶこともある。

圏の定義

圏の定義はいろいろあり得るが、代表的な定義を挙げる。なお、引用符に囲まれた“集合”、“写像”という言葉については後述する。

対象と呼ばれるモノの“集合”がある。これをObjとする。
射と呼ばれるモノの“集合”がある。これをMorphとする。
dom, cod : Morph → Obj という“写像”がある。f∈Morphに対して、dom(f)をfの域、cod(f)をfの余域と呼ぶ。
id : Obj → Morph という“写像”がある。a∈Objに対して、id(a)をaの恒等射と呼ぶ。（id(a)はid_aと書かれることが多い。）

この状況で、cod(f) = dom(g) のときだけ定義される、結合または合成と呼ばれる2項演算 comp :Morph×Morph → Morph（部分的“写像”）があり、次の法則を満たす。（以下、comp(f, g)をf;gと書く。f;gではなくて、g・f と書くことも多い。）

dom(id(a)) = a、cod(id(a)) = a
dom(f;g) = dom(f)、cod(f;g) = cod(g)
(f;g);h = f;(g;h) --（結合律）
id(dom(f));f = f、f;id(cod(f)) = f --（単位律）

このとき、(Obj, Morph, dom, cod, id, comp)からなる系を圏と呼ぶ。

小さい圏と大きい圏

圏の例として、すべての集合を対象として、すべての写像を射とする圏がある。この例から明らかなように、対象や射の全体を通常の意味での集合と捉えることが困難なケースもある（これが、引用符付きで“集合”と書いた理由）。対象と射の“集合”が、ほんとの集合になるとき、それを小さい圏と呼ぶ。大きい圏（小さくない圏）では、その議論に基礎論的困難が生じることもあるが、あまり頓着されていないようである。

圏の例と圏論の応用

集合の圏、関係の圏などは基本的かつ具体的な圏である。さらに、集合に構造を入れた対象の全体と構造を保つ写像（準同型）の全体を考えて、モノイドの圏、可換環の圏、（部分）順序集合の圏、位相空間の圏などを考えることができる。

それとは別に、演算やオペレータを備えた圏として、モノイド圏（monoidal category；単圏とも呼ぶ）、トレース付きモノイド圏、2-圏、双圏などもある。さらに、2-圏、双圏の一般化としてn-圏（高次元圏、高次圏）も考察されている。

具体的な圏から抽象化された圏としては、線形空間や加群の圏の抽象化であるアーベル圏、集合論と論理の圏論的定式化であるトポスなどがある。

ホモロジー代数、トポロジー、代数幾何などでは、圏論が基本的な道具となっているが、様々な分野において、構造に関する理論を整理して記述する枠組みとしても重宝する。また近年では、物理やコンピューティング・サイエンス（情報科学）にも圏論が応用される傾向にある。その例として、量子計算の高水準の記述、ラムダ計算の意味論、型理論の定式化、諸々の計算効果／計算現象の（モナドによる）整理などが挙げられる。