ベクトル空間上の線形演算子Aに対して Av = λv を満たすベクトル v のこと。λは固有値。
行列 A による線型変換において、ベクトルの方向は変わらず、結果が定数λ倍の v となるという点がポイント。固有ベクトルは A の階数 r に対して最大 r 個存在するが、固有ベクトル同士は一次独立である。また、対象行列から得られる固有ベクトルはそれぞれ直交する。これらの性質は様々な式変形に応用される。
対象行列 に対して、となる を固有値と呼び、 を固有ベクトルと呼びます。 式 は次のように書き直せます。これは に関する連立1次方程式であり、これが の解を持つのは、 係数行列の行列式が になることです。 すなわち、です。これを固有方程式と呼びます。 は の 次多項式であり、固有多項式と呼びます。 式 は実数係数の 次方程式であるから、一般に複素数の範囲で重複を含めて 個の解を持ちます。 したがって、 個の固有値と対応する固有ベクトルが存在します。 しかし、対象行列に対しては、固有値はすべて実数であり、固有ベクトルは次数成分からなります。 異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する さらに、異…
時空の変換f(t,x)、K系(t,x)⇒K'系(t',x')の座標変換には、変換しても、向きの変わらないベクトルがあるか・(固有ベクトルを探す・) 時空の変換の行列 https://www.geogebra.org/classic/jhy4wjuc https://www.geogebra.org/m/hkftfpmn 変換で、向きの変わらないベクトルを探す・.pdf https://drive.google.com/file/d/1Cv48Z2e3QWgzK2ZPMB5P66za-4e75pbY/view?usp=sharing
今日は昨日から数学試験対策をした。おそくまで眠れなかった。 基本的な微積分だったが、3変数ラプラシアンの計算を焦ってできなかった。 あと量が多い。 1-1 合成関数の微分 1-2 ラプラシアンの計算 おそらく極座標で楽になる 1-3 サイズ3の逆行列 1-4 固有値と固有ベクトル 1-5 確率 2-1 極限 区分求積 2-2 数列の和 3-1 互いに独立な確率変数 [0,1]一様分布 a b cとしたときの 二次方程式が実数解を持つ確率空間の体積設定をして重積分 3-2 確率漸化式 変遷型 偶奇で分ける 4-1 (時間足りず 朧げ) n個のサイコロを投げて1がk個出る確率変数Xを設定 4-2 …
ちょっと新たな試みで、数学の小ネタの雑談コーナーをはじめるよ!急にどうした!?この前、とらじろーさんのブログ を読んで触発されたので……。僕も数学の楽しさを再発見できたらなーと思ったのでした。なるほど。そんなわけで今日は、行列の固有値・対角化について、まったり話そうと思うよー。
令和6年3月16日(土) 明日にアクチュアリーの数学試験がある。 基本的な微積分と線形代数学、線形ODEと確率と統計が問われる。復習。 より細かくいうと二変数関数の偏微分と全微分の計算と、3×3の行列の固有値求めて固有ベクトル出して対角化と、変数分離型ODEと2階線形ODE。 極座標変換の簡単な定積分を解いとく。 確率は確率変数の関係など。 テイラー展開のプログラミングを求めておく。 ポワソン分布のアクチュアリー試験も解いておく。 こういうのは筋肉と慣れ。
本日はいつもと趣旨を変えて数学についての記事です。 3Dグラフィックスでは、座標変換の処理で行列が一般的に使用されます。 今まで回転行列、平行移動行列、スケーリング行列についてみていきました。 しかしながら筆者自身が行列についての基礎を完全には理解していないので今回学習していきます。 〇行列とは? 行列は数字を矩形状に並べたもので、通常、数の配列や表として表されます。行列は次のように表されます。 ここでmが行の数、nが列の数となります。 行列は線形代数学の発展とともに登場し、線型方程式の解法やベクトル空間の性質の理解に使用されます。 行列を使用することで次のような利便性があります。 ・データ整…
オイラーの定理とは オイラーの定理ってたくさんあるんですが、今回のオイラー定理は回転に関するものです。オイラーの定理 3次元空間の任意の回転 はある回転軸 の周りのある回転角 の回転である。回転行列を何回も掛けた回転行列でも任意軸回りの回転で表せるってことです。 回転の定義 本記事で使用する は以下を満たすとします。式 は が直交行列で、行列式が1であるということです。 簡単に言うと、 は普通の回転行列であるということです。 意味が分からない人は、参考文献読んでください。 証明 さて、オイラーの定理を証明しましょう。 の1つの固有値を とし、対応する単位固有ベクトルを とすると以下が成り立ちま…
ノート:2次元の線形写像の幾何学的な意味 (2) - 滴了庵日録 の例のうち対角でない行列を対角化する。 対角化の方法 2次正方行列に対して、2個の一次独立な固有ベクトルとその固有値があるとき、 とおくと、は対角行列になり、その値は となる。 とおくと、 となる。 一次独立な固有ベクトルが2個なければ対角化できない。 具体例 変換の意味 行列 A 固有ベクトル x 行列P xとyの入れ替え(y=xを軸に反転) y=2x方向に2倍y=x方向に3倍 x方向の剪断 なし なし y方向の剪断 なし なし 回転 幾何学的な意味 xとyの入れ替え (y=xを軸に反転) をに写し、y座標を反転し、をに戻す。…
こんにちは.changです. 物凄くニッチな内容ですが,Blenderで作ったモデルをUnityに移植して物理演算する際の慣性モーメントの与え方について解説します. この情報を必要とする方は世の中に殆どいらっしゃらないと思いますが,,, 1. 慣性モーメントとは? 一言で言うと,回転運動版の質量です. 運動方程式が だと言うのは,高校物理で教わりますね. 細かい事を言うと,これは並進の運動の方程式です. は質量を,は加速度を,は外力をそれぞれ表しています. 因みに,加速度は位置の二階微分であり,とも書けます. ここで,運動方程式を回転版で表すと, になります.は慣性モーメント,は角加速度,はト…
rustが楽しくなってきました。かたりぃなです。 今回はrustでopencvを使って画像分類に挑戦しようと思います。 その前に。記事のタイトルをAIが生成してくれる機能がついたみたいなので試してみました。 だいたいあってる気がします。 それでは本編。 まず環境準備。 rustはインストール済みなので、アップグレードだけします。 opencvはソースからビルドするのめんどいのでバイナリ持ってきます。 rustのアップグレード PS C:\myproject\tauriapp> rustc --version rustc 1.70.0 (90c541806 2023-05-31) PS C:\m…
はてブ上でのの練習と授業の復習を兼ねて. 定義1(強連結). を有効グラフとする. 任意のについて, をそれぞれ始点, 終点とする有向道が存在するとき, は強連結であるという. 定義2(既約行列). とする. グラフであって, の成分が非零であるときに限りからへと向かう辺をもつようなものを考えたとき, が強連結となるならば, は既約行列であるという. 定理1. を既約非負行列とする. このとき, は正行列となる. 証明. 任意の零でない非負ベクトルについて, であることを示せば十分である. としても一般性を失わない. また, は非負行列であるから, を非負行列として とかける. として, とお…
複素数対応・任意の正方行列を計算するアプリ「n次行列計算」をリリースしました! このアプリでは任意の正方行列の行列式、逆行列、固有値、固有ベクトルを求めることができます!複素行列や、固有値が複素数になる場合にも対応しており、現在App Storeで配信されているアプリでは、唯一の機能となっております! 通常は200円で配信しておりますが、この春大学に入学する大学生のために4/30まで『無料セール』を行なっております。新大学生も、そうでない方もこの機会にぜひダウンロードしてください! ダウンロードはこちらから↓ 【アプリの特徴】 このアプリには大きく分けて7個の特徴があります! 1.複素数に対応…
ノート:2次元の線形写像の幾何学的な意味 - 滴了庵日録 の具体例を示す。 変換の意味 行列 A 行列式 |A| 固有値 λ 固有ベクトル x x方向に2倍 2 2, 1 y方向に2倍 2 1, 2 x方向に-1倍(左右反転) -1 -1, 1 y方向に-1倍(上下反転) -1 1, -1 xとyの入れ替え(y=xを軸に反転) -1 1, -1 x方向に0倍(y軸上につぶれる) 0 0, 1 y方向に0倍(x軸上につぶれる) 0 1, 0 x方向y方向とも2倍 4 2 (重根) 任意の非零ベクトル x方向y方向とも-1倍(上下左右反転=180°回転) 1 1 (重根) 任意の非零ベクトル x方…
具体例は→ ノート:2次元の線形写像の幾何学的な意味 (2) - 滴了庵日録 2次元の線形写像 2×2行列(2次正方行列) で表される。 図形を原点を中心に変形させる。変形は伸縮と剪断と回転からなる。 原点(0,0)は動かない。(平行移動はしない) 伸縮は、原点を中心とした、任意の2方向への、各々任意の倍率の伸縮。 1方向の倍率がゼロであれば、変形後の図形は線になる。(つぶれる) 2方向とも倍率がゼロであれば、変形後の図形は点になる。(つぶれる) 1方向の倍率がマイナスであれば、変形後の図形は裏返る。(鏡像になる) 2方向とも倍率がマイナスであれば、180度回転と同じことである。 剪断は原点を…
※この記事はQiitaからの引越し記事です。 物体の姿勢の表し方には以下の2種類があります。 連続的に表現するオイラー角 離散的に表現するクオータニオン このうちクオータニオンはオイラー角とは異なり、ある姿勢を一意に決めてしまうものなので、 オイラー角のように見た目の姿勢変化をそのまま値に反映することはできません。 本稿ではそんなクオータニオンの平均を取る手法について話します。 補足 「平均化」とは言わず、普通は「線形補間」と言います。 ただ、今回の目的が線形補間の中間地点を取得することなので、わかりやすさのために敢えて「平均化」と言ってます。 lerp() / slerp() Unityで主…
変換メモ % comment # comment コード行をテキストでコメント化するcomment for i=1:3 fprintf('%i\n',i) end for i in range(1, 4): print(i) for ループを使用して数値 1、2、3 を出力します。range a && b a and b 短絡論理 AND 演算子 ( Python ネイティブ演算子)。スカラー引数のみ a || b a or b 短絡論理 OR 演算子 ( Python ネイティブ演算子)。スカラー引数のみ >> 4 == 4 ans = 1 >> 4 == 5 ans = 0 >>> 4 =…
大学で物理を学ぶための準備として,線形代数について簡単に解説します.大学で最初に学ぶ数学は数学者の先生の証明中心の授業で難しいと感じる人が多いと思います.ここにまとめた知識さえ押さえておけば,たいていの分野で線形代数は万全でしょう. 行列演算 スカラー倍 和 積 行列の関係 転置行列 単位行列 逆行列 随伴行列 ベクトル内積 行列式 余因子 余因子展開 2次正方行列の行列式 3次正方行列の行列式 ベクトル外積 逆行列 固有値問題 固有値方程式 エルミート行列の固有値 エルミート行列の固有ベクトル 固有方程式 対角化 回転行列 行列演算 スカラー倍 $$\alpha[a _ {ij}]=[\al…