合同式

スミマセン、タイトル盛りました。 でも、嘘ではないです。釣り要素は入ってます。 ？？？ これで理解出来た人はすごく頭の良い人だと思うので回れ右して下さい。 まず、合同式が余りについて扱う等式のようなものだと言うのは誰でも想像が付きます。でも、‘＝’とは似て非なるもの。そこで混乱してしまいがちです。 ｍｏｄはプログラムや表計算でもお馴染みの記号で、“余りの数そのもの”を返すようなイメージがあります。 例えば、８÷７の計算において、mod（８，７）＝１みたいなイメージ。（書式はプログラミング言語により違います） でも、上の合同式は別物です。では何を返すのか？ ここで、幼稚園児たちに登場してもらいま…

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。 今回は整数の性質です。 今回の問題の原文 をを満たす自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。 (1)のうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。 (2)のうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。 (3)(1)と(2)を用いてを満たすの組を2つ挙げよ。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 ピタゴラス数に関する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopp…

問題.自然数 に対し, を で表す. たとえば, である. (1) を 0 以上の整数とする. は で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. (2) が 27 で割り切れることが, が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ. 方針.(1) について は 1 が 個並んだ数で, は 1 が 個並んだ数なので, が 3 個並んだ数とみなすこともできます. このことに気がつけば, についての帰納法で証明できそうであると分かります. (2) についてこちらは (1) と比べて難しいですが, まず最初に が 9 で割り切れることが, が 9 で割り切れるための必要十分条件であること…

オイラーの定理(Euler's theorem)自然数 に対して, と が互いに素であるとき, 次の式が成り立つ.但し, はオイラーの関数.オイラーの名前を冠した定理は沢山ありますが, これもそのうちの一つです. オイラーのφ関数オイラーのφ関数 は, 以下の自然数で と互いに素であるものの個数を表します. 例として, (1, 3, 7, 9が10と互いに素) (1, 5, 7, 11が12と互いに素)特に, 素数 に対しては, より小さい自然数はすべて と互いに素なので,となります.上で紹介しているオイラーの定理の として素数 を与えると, フェルマーの小定理となることが分かります. 証明こ…

合同式における剰余の定理 の整数係数多項式 が\begin{align*} f(a)\equiv 0 \pmod{m} \end{align*}を満たす ( は整数) 任意の に対して\begin{align*} f(x)\equiv (x-a)Q(x) \pmod{m} \end{align*}となる整数係数多項式 が存在する. の次数は よりもひとつ下がっている.等式の剰余の定理は高校でも学習する範囲に入っていますが, 合同式でも同様の定理がなあり立ちます. この定理はウィルソンの定理の証明などで使います.合同式についてはこちら. 証明 を前提する.\begin{align*} f(x) …

フェルマーの小定理(Fermat's little theorem)フェルマーといえば, 360年間もの間証明されなかったことで有名な「フェルマーの最終定理」があります. まず, フェルマーの小定理の内容を紹介します.素数 と自然数 が互いに素であるとき,\begin{align*} a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \end{align*}が成り立つ.つまり, を で割ると1余る, という意味です. (合同式についてはこちら). 証明ここでは証明を3通り挙げておきます. 1つ目, 2つ目の方が分かりやすいですが, 3つ目の方法はこの定理の一般化であるオイラーの定理の証明に応用…

合同式(congruence) は整数, は正の整数として, が で割り切れるとき\begin{align*} a\equiv b \pmod{c} \end{align*}と書き, この形の式を合同式といいます. また, このときの を合同式の法といいます. また, 上の式を以下のように書くこともあります. \begin{align*} a \bmod c = b \end{align*} プログラム経験のある人なら, という記号を使うと思いますが, 数学では を使います.合同式の両辺の , は整数であることに注意してください. この部分が分数の形になる計算をする場合は, 割り切れているかを…

空気になりたい凡人です。 数学をやってるとふと定式化できる対象をまた見つけた。楽しい。 陳腐な重圧から解放されるとこんなに視野が広がるとは... 今日やったこと htmlの学習(0.3章分) 参考図書6ページ 自由学習 annihilatorについて 初等整数論 合同式 続き 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること htmlの学習(0.3章分) 参考図書数ページ 自由学習ルーズリーフ１枚 初等整数論 まぁ大した発見じゃないだろうけど、しれっと学術ブログの方にでも投げとこうかな？ 現場からは以上です。

素数modで問題を解くためのアルゴリズムは色々有名なものがありますが、合成数modだとうまくいかないものも多いです。 このようなとき、素因数分解によって素数modの問題に分解することができれば、中国剰余定理を用いて元の問題の解を復元できることがあります。（いわゆるCRT復元） AtCoderではC++を使っている限りはACLにcrtという関数が用意されていますし、今は多くの言語にACLが移植されていますから、同等機能の関数なりメソッドなりで事足ります。 しかし、ある程度理解できるようになると案外ソラ書きできるなと気づいてきたので、メモしときます。 中国剰余定理について 概要です。証明はしません…

先日行われた2024年度の一橋大学の後期数学を解いてみました。 ※一橋の後期は文系向けにも関わらず数Ⅲが出題範囲に含まれています。なので、どうしても数Ⅲの知識が不可避な問題については「※数Ⅲ必須」とコメントを付けておきます。

先日行われた2024年度の東北大学の後期数学を解いてみました。

2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、一橋大学の数学に挑戦します。

問題 解法 現在時刻を とすると、ダイクストラ法で各遷移において となる最小の を求めることができれば良いので線形合同式が解ければ良い。 しかしこれを解くのは意外と難しく、法が素数ではないときに逆元がないが が解を持つという場合がある。（例： に対し ） なので tourist 氏や maspy 氏のコードを参考に ライブラリ を作成した。 結局のところ が解ければ良いのだが、解 が求められたときに の周期が ではなく であるという点に注意する。 #include "my_template.hpp" #include "graph/read_graph.hpp" #include "math/…

授業後 生徒から先生〜〜と 声をかけられまして Modがわからな〜いと 合同式がわからな〜いと あ〜 あれね といいつつちゃんとは勉強していなくて 名前だけは知ってますけど これってやるやらないは学校によるんですかね 全学校はやらないですよね 整数のところか ということでこれから勉強します いやすでにいくつか動画はみました 問題も解きました ちょっとまとめています はい知っています 勉強をして新しい知識をいれることに 生きがいを感じています そろそろ慣れてください 変人な私にww

僕は2014年度東大受験なのだが、実は2014年度は問題がそんなに面白くないので受験数学マニアが東大数学について語る際に全くと言っていいほど話題に挙がらない。当時解いてて本当につまらないばかりか、僕は典型題みたいなのに結構弱いところがあるのでむしろワンチャン落ちるんじゃないかと焦っていたのを今でもうっすらとながら覚えている。ただ、今思い返してみるとあの問題群は選抜試験として秀逸だったのではないか？と感じることがある。というのも、東大数学の問題を★1～★10までランク付けしたときに2014年度は★1～★8までの問題が満遍なく並んでいるからだ。満遍なくレベル別の問題があるため、ボリューム層の数学力…

部分群 ある群の部分集合であって、それ自身も群となるもの。 部分群 H⊂G とは、Gが群であり、Gと同じ演算に関してHが群であること。 H≤G と書くこともある。 (演算に関して閉じている) (単位元を含む) (逆元に関して閉じている) 例 (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+) (整数、有理数、実数、複素数の加法群) (4Z, +) ⊂ (Z,+) (加法に関して、4の倍数は整数の部分群) 1+4Z は Zの部分集合だが、加法に関して群ではない。 正規部分群 部分群 H⊂G が正規部分群であるとは、 つまり であること。 ここで、gH = {gh | h∈ H} を意味す…

問題文 https://atcoder.jp/contests/abc335/tasks/abc335_f 問題概要 左から右に一列に並んだ $n$ 個のマスがあり，$1, 2, \dots, n$ で番号付けられている．また，長さ $n$ の数列 $A = \langle A_1, A_2, \dots, A_n \rangle$ がある． 初期状態では，マス $1$ は黒く塗られていて，その他のマスは白く塗られている．またマス $1$ に駒が $1$ つ置かれている． ここで，次の一連の操作を $0$ 回以上繰り返すことができる． 駒がマス $i$ にあるとする．正整数 $x \in \m…

2023年12月19日(Tue)の呟きは 36

現在２０２３年１２月１１日１５時５２分である。 いくつか、役に立つかどうか分からない予想を、並べてみます。 ・物理学の式は、合同式として書きなおされなければ、ならないのではないか？（その１）27182818284590452.hatenablog.com（その２）27182818284590452.hatenablog.com（その３）27182818284590452.hatenablog.com ・リーマンゼータ関数について、リーマン予想は、もうヴェイユによって、解かれているのではないか？ （その１）mayuandtaro.hatenablog.com（その２）mayuandtaro.ha…