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全称量化
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全称量化

(サイエンス)
【ぜんしょうりょうか】

Universal quantification
自然言語における「すべての」に対応する述語論理の量化及び量化記号(quantifier)である。通常「\forall」を用いる。普遍量化子、全称限定子などと呼ばれることもある。別の量化として存在量化がある。全称量化は論理積と対応する。例えば、3人の人間A,B,Cについて「A,B,Cは全員20歳以上である」という主張は、「Aは20歳以上である かつ Bは20歳以上である かつ Cは20歳以上である」という主張と等価である。

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Maxima で綴る数学の旅•2ヶ月前

-数学- Lean4のお勉強　関数

Mathematics in Leanの第4章「集合と関数」の中の２つ目のセクションである「関数」を読みながら練習問題を解いています。その問題の中で集合族の積集合の写像と集合族の写像の積集合に関する問題がありました。全称量化子と存在量化子が絡み、なかなか手強かったので、紹介したいと思います。 練習問題とその証明は下記のとおりです。 example (i : I) (injf : Injective f) : (⋂ i, f '' A i) ⊆ f '' ⋂ i, A i := by01 intro y h102 simp at h103 simp04 have : (∃ x, (∀ (j : …

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Maxima で綴る数学の旅•2ヶ月前

-数学- Lean4のお勉強　関数型言語が証明に顔をだす

Lean4を証明支援系として使っていても、型と証明の対応や関数型言語が突然現れることがあります。このことを知っていないと証明が読めないことがありました。 具体的には例えばある定理がこんな形だったとします。 def P (x:ℕ) : Prop := sorrytheorem theoA : ∀ x > 3, P x := sorry P xを命題としてxが3より大きい場合はP xが成り立つ、というのがtheoAという定理です。 当然P 4は4>3なので成り立つはずです。証明は普通はこんなふうにやると思うのです。 example : P 4 := by apply theoA -- ⊢ 4 > …

Maxima で綴る数学の旅•3ヶ月前

-数学- Lean4のお勉強 　全称量化子 ∀

今勉強しているMILの第3章「論理」では仮定の論理式やゴールの論理式に登場する論理記号をタクティクでどのように取り扱えば良いのかを説明しています。 この章の最初の方で説明されるのは全称量化子 ∀ です。ゴールの論理式にこの論理記号がついている場合、その変数や中身の式を証明することができません。そこで多くの場合には全称量化子 ∀を外してその中身にアクセスできるようにすることが証明の第一歩となります。 全称量化子 ∀がゴールの論理式に登場している場合、introタクティクを使うとその変数がラベル付きで導入されて、以降の証明で使えるようになります。 例えば前回見たcalcモードの説明の記事では偶関数…

日記•3ヶ月前

合成写像　6項

とする．このとき ① ② を考える．しかし，このままでは合成できない．①では存在量化されているのに，②で全称量化されているからだ．そこで一旦，パラメタで考えてみる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 4 (4) 前提 4 (5) 4. ∀-除去 6 (6) 仮定 このときを考えると 6 (7) 6. 6 (8) 7. ∃-導入 1,4 (9) 6-8. ∃-除去 1,4 (10) 9. ∀-導入 このようにして，合成写像は存在する． 例 いま と仮定する． まず，を考える．に対して である． 次に，を計算する．に対して を得る． ☆ とを仮定したがパラメタ変形によ…

Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳•5ヶ月前

【詳細版】 1+1=2 笑えない数学 ～笑わない数学の笑えない間違いの話～

NHK で放映された『笑わない数学』という番組の次の回が話題になっていた． www.nhk.jp 企画意図としては「\(1+1=2\) という式を通して数学基礎論という分野を紹介する」というものだったのだが，怪しい説明や誤解を招く説明，端的に誤っている説明があった．というか，全体を通してそういうものがとても多かった．どう少なく見積もっても番組の内容の半分以上がそういうものになっている．正直，全然笑えない．笑わないのではなく笑えない． そういった説明に注意喚起を促し，簡単にだが訂正をするための記事を以前書いた．その記事は速報性を重視して書いており，「ここが怪しい」「ここが間違っている」ということ…

日記2•6ヶ月前

二階述語論理及び三階述語論理に置ける限量記号の意味について

例 とする．このとき すべての人間はある動物である i.e. が成立する．ここで，この記号を以下のように分解する． s.t. () s.t. () i.e. してみると，全称量化子と存在量化子の違いがないことに気が付く．そこで，両者の記号を廃止する．すなわち s.t. s.t. i.e. これを実際に考えてみる．たとえば と置く．このとき，人間は人間の集合に属し，また動物の集合にも属する．したがって と表すことができる．「s.t.」というのは，たとえば i.e. s.t. ということであり，○○の中で少なくとも1個がその条件をみたしさえすれば△△が存在する，ということである．つまり，少なくとも…

支離滅裂評論の独楽•8ヶ月前

ウンディンディン学と記号論理学的アプローチの相互関係

要旨： 本論文では、ウンディンディン学とは何か、そしてそれを記号論理学的アプローチによってどのように分析できるかについて考察する。ウンディンディン学は、人間の認知に対する限界を探求する学問であり、「ウンディンディンはウンディンであり、ディンディンはディンである」という基本定理に基づいている。本論文では、ウンディンディン学の基本定理と記号論理学の関係を明らかにすることを目指す。 ウンディンディン学の概要 ウンディンディン学は、人間の認知に対する限界を理解しようとする学問であり、ウンディンディンとディンディンという概念を用いている。ウンディンディンはウンディンであり、ディンディンはディンであるとい…