代数系

最近、二重圏に興味を持っています（「二重圏、縦横をもう一度」参照）。モナドや随伴には昔から興味を持っています。すべての随伴系〈adjunction〉達を二重圏、あるいは2-二重圏に組織化することを考えたことがあります。 随伴系の二重圏 (2019年) 2-二重圏： 随伴系達の圏 (2021年) すべての随伴系達が作る構造について、またあらためて考えてみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\u}…

みなさんこんにちはべっくです．都内を離れて1年が経ちました．定期的に飲み会に参加していた日々が懐かしいです．健康的な生活になっているはずなのに体重が増えているのはなぜでしょうか．たぶん最近まで毎晩おやつを食べていたせいかもしれません．別のストレス発散法の発見が待たれます． この前上海に出張に行き，ちょっとしたセミナーで講演したら謝金をいただきました．数学系では謝金をいただくことはほとんどありませんが，中国では当たり前のようです．日本でも Alipay が使えるなと思って謝金を Alipay で受け取ったのですが，どうやら Alipay を日本で使えるのは（ピュアな）中国人だけのようです．お土産…

「双遷移系達の3次元の圏」で述べた3次元の圏類似代数系のプロ射（プロ方向の1-射）は双遷移系です。プロ射のプロ方向への結合は、双遷移系のテンソル積で与えられます。この記事で、双遷移系のテンソル積を定義します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\hyp}{\text{－} } %\newcommand{\Imp}{\Rightarrow } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } %\newcommand{\cat}[1]{\mathcal…

「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」において、とある3次元の圏が存在しそうだ、と述べました。しかし、その3次元の圏の構成はかなり手間がかかる作業です。設定を単純化して、手間を減らしましょう。「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」で「モノイド圏」としていたところを、「モノイド」（単一対象の圏、または離散圏上のモノイド構造）に置き換えます。それに伴って、他の部分も単純な構造で置き換えます。そうすると、なんとか手に負えそうな圏類似代数系になります。単純化しても、単なるオモチャというわけではなくて、それなりに意味を持ちます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} …

最近のマイブームは二重圏です（「二重圏、縦横をもう一度」参照）。既存の概念を二重圏ベースで再考してみるとちょっと楽しいです。アローは、ジョン・ヒューズ〈John Hughes〉が考案した関数プログラミングの道具・手法です。ヒューズのアローを二重圏ベースで再考してみたいと思います。細部の確認をしてないので、話半分だと思ってください。[追記]案の定「話半分」でした。誤認と間違いがあります。が、本文の修正はしないで、追記の節を設けます。[/追記]$`\newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand…

二重圏の拡張である仮想二重圏〈virtual double category〉、添加仮想二重圏〈augmented virtual double category〉に興味がわいて、次の2つの論文をポチポチと拾い読みしています。 [Kou19-22] Title: Augmented virtual double categories Author: Seerp Roald Koudenburg Submitted: 24 Oct 2019 (v1), 8 Oct 2022 (v3) Pages: 65p URL: https://arxiv.org/abs/1910.11189 [AM23-]…

ランキング参加中知識 参考文献 準同型定理 第1同型定理 第3同型定理 第2同型定理 参考 群以前の定理 参考文献 佐藤，田谷，理工基礎代数系 (ライブラリ新数学大系 E12) 以下， は群， は部分群， は正規部分群， は単位元を表す． 準同型定理 定理 写像 を準同型写像とする．このとき写像はwell-defined（代表元 の取り方によらず定義される）で，単射準同型写像となる．したがって値域の方を狭めてと再定義すればこれは同型写像．すなわち これのイラスト化を考えてみたのだけど，rhidetoのblogに載ってる下の絵が一番分かりやすかった． rhidetoのblog : 例6. 剰余群…

f：写像 (map) X：定義域, 始域 (demain) Y：終域 (codomain) f : Ｘ→ Y 全射・単射・全単射 全射 (上への写像, surjection) f(X) = Y つまり Y の全ての元を指す → があること 単射 (1対1写像, injection) 異なる → が Y の同じ元を指さないこと 全単射 (上への1対1写像, 双射, bijection) 全射でありかつ単射であること つまり XとYの全ての元が1対1に対応していること 全単射であれば逆写像が定義できる 例 f:R→R … 全射でも単射でもない f:R→[0,∞) … 全射だが単射ではない f:[0…

圏論的な普遍構成は色々な場面で使われますが、代表的・典型的な例を幾つか挙げます。普遍構成と普遍性に関する復習もあります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } %\newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcom…

こんにちは、ぱるまです。この記事では2023年にツイートした数学の話を振り返ってみます ルベーグ積分の普遍性 (2月) 距離空間の三角不等式も順序集合の推移律も（豊穣圏の）射の合成 (2月) 関数の連続性について動画を出しました (2月) 「素数が無限個あること」の証明と「集合全体の集まりが集合でないこと」の証明 (2月) Stateモナドのお絵描き (2月) dim(V + W) + dim(V ∩ W) = dim(V) + dim(W) は基底で包除原理したもの (3月) 代数系の細かいツイートたち (3月) 包除原理を指示関数で解釈する (7月) 米田埋込による min, max の分…

今年〈2023年〉の夏くらいから、絵図的手法のフレームワークとして、スケマティック系というものを考え始めました。スケマティック系に関連する記事は「スケマティック系のハブ記事」からたどれます。スケマティック系の素材として、半グラフやバエズ／ドーラン・ツリーなどを調べてみたのですが、これらの構造の背後に、比較的単純な代数系があるようです。絵図（ストリング図／ワイヤリング図）の切り貼りを支配している代数系です。この代数系（“貼り合わせ代数”と呼びます）について述べます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{…