ミンコフスキー空間

はじめに Wathematicaアドベントカレンダー12/19担当のY・Yです。 ベクトル解析で用いられるガウスの法則やストークスの法則、ベクトル解析の最大の応用先とも言える電磁気学などは、微分形式を用いた方が統一的に表すことが出来る、というのはかなり有名な話です。例えば、のベクトル場の発散は、2-formの外微分として捉えることが出来ます。しかし、実用上はユークリッド座標だけでなく、極座標その他の直交曲線座標で考えることも多いです。また、一般相対論では、曲がった時空上にMaxwell方程式は拡張されます。この時、ベクトル場の微分はどのように変換されるのか、というのが今回の主題です。 おことわ…

こんにちは、物理工学科B3のtaigaです。本記事は2023年東大応物アドカレ物工/計数 Advent Calendar 2023 - Adventarの6日目(2人目)の記事となります。各自思い思いの記事を書いているのでぜひ他の日も覗いてみてください！この記事では特殊相対論の記法について簡単にまとめます。東大応物のカリキュラムではしっかりと(特殊)相対論を学ぶ機会がありません。しかし、3Aセメスターになるとさも既知かのように相対論でよく見るテンソル記法や電磁場テンソルがガンガン講義で登場します。このような事態に悩む応物生(特に物工生)のために相対論で現れるテンソル解析の記法やマクスウェル方程…

特殊相対論の出発点は、次の２つの原理です。特殊相対性原理：物理の基本法則はどの慣性系上の観測者にとっても同じ光速不変の原理：真空中の光の速さは、相対的な運動によらず、どの観測者にとっても同じ 地面に固定した静止系をОとし、その座標を(ct,x)とします。また、この座標系に対してx軸方向にvで等速運動する剛体棒を考えます。この剛体棒に固定した座標系をО'とし、その座標系を(ct’,x')とします。普通は剛体棒でなく「光速近くまで加速された素粒子」に固定しますのでｘ軸で話をしますが(ローレンツブースト)、ミンコフスキー空間は時間1次元、空間3次元のベクトル空間(ct,-ｘ)です。 О系：Euler…

１．ニュートン力学 固定された背景時空を物が運動している。 絶対主義。 同じ出来事を２人の慣性系(絶対的に正しい人達)が見るとき、２組のxyzt(場所と日時)の値はガリレイ変換で換算できる。 半導体や磁性体を扱う物性論(非相対論的量子力学)もこれ。 ２．特殊相対性理論 固定された背景時空を物が運動している。 絶対主義。 同じ出来事を２人の慣性系(絶対的に正しい人達)が見るとき、２組のxyzt(場所と日時)の値はローレンツ変換で換算できる。 素粒子論(相対論的量子力学)もこれ。 ３．一般相対性理論 物の影響で背景時空が変形する。 相対主義。 絶対的に正しい人達、というのはいない。 ４．ペンローズ…

数学でいう多様体とは、小さなユークリッド空間をパッチワークのように貼り合わせたものです。そしてツギハギのつなぎ目は滑らかで、角張らないようにします。一方、物理では、小さなミンコフスキー空間をパッチワークのように張り合わせます。 ユークリッド空間とミンコフスキー空間には大きな違いがあるのですが、以下ではその違いを気にせず、イイカゲンに記述します。 多様体では、２点間の(距離÷座標差)の平方根を計量と言い、よく記号gで表します。 ユークリッド空間：gは場所と向きによらず、つねに１。 リーマン空間：gは場所により変化するが、向きにはよらない。 フィンズラー空間：gは場所と向きの両方に依存する。 数学…