ガロア理論

どうも，Nagiです． 前回の投稿からずいぶん時間が経ってしまった気がします． 今日で少し忙しさが落ち着いたので，生存報告がてら近況報告したいと思います． 研究計画書とかいうやつ 忙しかった原因の一つは研究計画書というやつを書かなければいけなかったことです． これは，自分がこれからどんな卒業研究をするかを書く書類で，割と正式なちゃんとした書類です． 主指導教官，副指導教官，副テーマ指導教官の三人に見せて，全員からokをもらわないといけません． 自分がどんな研究をするかは主指導教官と相談して決めます． そして，ある程度方向性が決まったら，論文をいくつか読み研究に必要な知識などをつけます． それが…

こんにちは。 最近、先生の勧めもあり、ガロア理論の本を読んでいます。 抽象的な概念は扱っているとワクワクしてきますが、やはり理解するのが難しいですね。 読んでいて色々考えたことなどがあったので、書いてみようと思います。 存在しないものを取り込んでしまっても良いのか？ はじめに、虚数を学んだ時の気持ちを思い出してみたいと思います。 それまでは、を満たすは、存在しないとされていたと思います。 もし、を満たすようなを導入したら、上の方程式を満たすは存在することになります。 最初にが導入されたとき、僕は割と違和感がありました。そんなことしちゃっていいのか？それができるんだったら、もっといろいろやばいこ…

どうも、tamaminaoです。 引き続き、数学、数学者、科学者への興味が私の中で沸騰しています。 バリバリ（死語ですか？）の文系で、びっくりするくらい計算とか苦手なんですが。息子に「確率」の問題聞かれて、「確率って何？」と返すレベルです。 tamaminao.info そんな私が数学、数学者、科学者に興味があるというのは、ひとえにその「人間性」が面白いから。本日読み終えた『恋する天才学者』内田麻理香（講談社）も、男性科学者16人の素晴らしい業績と天才性に触れつつ、その人間性や恋愛遍歴に迫った1冊。大変私好みでした。「変人」目白押し。 中でも興味深かった数名をご紹介させて頂きます。 // リン…

現在第4章の「体の代数拡大」の章に入りました。4.9[例題]に「体Q(\sqrt(2))の自己同型群Aut(Q(\sqrt(2)))を求めよ」という問題が載っています。私にとって代数の本の練習問題で難しいのは、この手の問題です。XXX群を求めよといっても、どうやればよいのか、（たくさんあったときに）どう答えたらよいのか、よくわからなかったのです。この例題の解答には、「最初であるから、自己同型を決定するプロセスを、丁寧に説明してみよう」とあります。これによって、どう考え始めたらよいのか、どう答えたらよいのか、実例を見ることができ、とても助かります。 もうすぐ、メインの部分の半分まで到達します。後…

ガロア理論の要点は、以下の通りです。(方程式の最小分解体) L ⊃ (中間体) M ⊃ (方程式の係数体) Kにおいて、(Lの不変群) Gal(L/L)={e},(Mの不変群) Gal(L/M)=N,(Kの不変群) Gal(L/K)=Gとすると、{e} ⊂ N ⊂ G となります。１．方程式の最小分解体Lは、その中間体Mのガロア拡大になる⇒ 最小分解体Lの中間体Mに、ガロア群N＝Gal(L/M)が定義できる(ガロア対応)２．方程式が代数的に解ける⇒中間体Mが係数体Kの(原始)冪根拡大になる⇒ ガロア群{e}=Gal(L/L) ⊂ N=Gal(L/M) ⊂ G=Gal(L/K)が、正規部分群列 …

※2012年9月26日のYahoo!ブログを再掲。 ↓↓↓ 乱択アルゴリズムに続く、数学ガール第5段。もう5作目かぁ。 本作でのテーマはガロア理論。ガロアって誰？ってことでちょっと調べてみた。ウィキペディアによると、 エヴァリスト・ガロア（1811-1832）は、フランスの数学者および革命家である。 とのこと。 1811年生まれで20歳で亡くなっている。1811年生まれといえば、ナポレオン2世、佐久間象山ってところ。日本は江戸時代で、ガロアの生まれたフランスは、ナポレオン帝政の絶頂期ってところになる。 ガロアの生涯については本書では多く触れていない。むしろ波乱過ぎる生涯にばかり目が行きがちなガ…

（はてなブログでMathjaxを使うとギリシャ文字を含む文章が読み込まれなかったりするという不具合があるそうです。何回かリロードあるいはPC版サイト表示などを試すと読み込まれると思います）本稿はDummitによる1991年の論文"Solving solvable quintics"で与えられている可解な五次方程式を代数的に解く方法について解説する（ここでは$\mathbb{Q}$係数として議論を展開する。一般の体係数であってもほぼ同じであるはずである）なお本稿では標準的なガロア理論の知識を完全に仮定する。その和訳であるhttp://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace…

置換の分類(2) ChatGPT で以下のように入力しました。 置換を隣接互換の積に分解するプログラムを書いてください これは正しいプログラムを得ることができました。 def adjacent_transpositions(perm): """ 指定された置換を隣接互換の積に分解します。 :param perm: 置換リスト :return: 隣接互換のリスト """ # 初期の状態として、置換をコピーする perm = perm[:] n = len(perm) transpositions = [] # シンプルなソートアルゴリズムを使って隣接互換を生成 for i in range(n)…

Twitter(旧X)の一部などで絶え間なく掛け算の順序問題は取り上げられる。 しかしながら割り算の扱いは冷淡である。(ホットであるべきだと思わない) これについて、初等算数の思い出として長年引っかかっていたエピソードがあるが、ツイッターで書くには微妙に長いので書いみる。 私が小学１年生の頃に通っていた公文では、指導とは問題を渡すことだった。良く言えば習うより慣れろがモットーで、算数の時間で具体的に生徒がすることは、 1. 『小学校低学年向け』とくくられた計算ドリルを『こどもの自発性』に基づいて解く。 2. それを出入り口の横の長机に座った数人の採点官へ持っていく。 3. ついでに『自発的な質…

どうもmmです．4年生に上がったので，とりあえず，近況報告と将来の展望について述べておきます． ・近況報告 とりあえず，４Sセメスターでお世話になる先生が決まりました．ここで研究室と言わないのは，研究室固有のことは特にしていないからです．（これは私が物理についてかなりの無知であるためです．）４Sセメスターはお世話になって，４Aセメスターからの卒業研究は別のところに進むことができて，数学系（解析）もあるのでそちらに行こうと考えています．また，今学期のセミナーは関数解析です．ちょっと分野別にやっていることを記しておきます． ・代数学 藤﨑「体とガロア理論」のおそらく標準的な3年生まででやる内容はほ…

目標 ここでは「群論の計算」などで扱っている問題をChatGPTを使って書いていきます。まず、これは何のためにやっているのかを書きます。これはChatGPTではなかなかちゃんとした答えが返ってくるように書くのは難しいようなので、大まかなことは自分で書きます。以下のようなことをやろうとしています。 数学の問題を表す適切な用語がないものについて考える 帰納法を数式の変形またはビジュアルプログラミングで表す 多項式の計算でできることを考える プログラムの代数的構造を考える 細かい個別のテーマを書いておきます。これらについては何か答えが得られるかもしれません。 写像と同値関係の間の関係 単一化による帰…

期日前投票に行ってきた。大勢の人が投票に来ていた。 午後からはプチ法話会。今回から浄土三部経を取り上げることにした。初回は阿弥陀経について。 数日前に、中学生にもわかるガロア理論の試み について質問のメールを送ってくださった方がいて、その返事で改めて読み直してみた。 ４、三次方程式はなぜ解けるのか 『次に、この対称式から、二次方程式をつくってその根を求める。Ｔ２－（Ｒ1＋Ｒ2）Ｔ＋Ｒ1・Ｒ2＝０根を求める式は、（解の公式を使うと）｛(Ｒ1＋Ｒ2)±√((Ｒ1＋Ｒ2)2－４Ｒ1・Ｒ2)｝／２ ＝｛(Ｒ1＋Ｒ2)±√(Ｒ1－Ｒ2)2｝／２ ＝｛(Ｒ1＋Ｒ2)±(Ｒ1－Ｒ2)｝／２√がなければ、(Ｒ…

現在２０２４年３月２１日２０時２３分である。（この投稿は、ほぼ２３８８文字）麻友「昨日書いてこなかったわね」私「私に良くあることで、２０２８年までで、どのくらい本が読めるだろうと、自分の本を眺めていた」結弦「少しは、定まったの？ 計画は？」私「漠然と、ブルバキを書き直すとか、ランダウを書き直すとか、言っていても、中身と交渉しなければならない。いっとき、ランダウの『理論物理学教程』の、『量子力学１』そして『量子力学２』を、全部書き写し、論理が飛んでいるところは全部補うということを、しようかと考え、ノートも用意した。もちろん、それ以降も、書き写す積もりで」私「これを思い付いたのは、現在、図書館から…

バタニン／マークル〈Michael Batanin, Martin Markl〉のオペラディック圏は、オペラッドを定義するための道具ですが、“ファイバーの計算”を抽象化したものだともみなせます。この記事では、抽象化する前の具象的な“ファイバーの計算”、つまり集合圏の部分圏における“ファイバーの計算”を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{…

今日は皆さんに、先日経済分館に入ったＤＶＤと本をご紹介します。『笑わない数学』 ＤＶＤ3枚組 経済分館（ＡＶ）『笑わない数学』 図書：3191667 経済分館（新着図書） ＤＶＤは1階ＤＶＤコーナー（注目図書の隣）にあります。 えっ、数学？…ムリ、わかんない…、と思ったそこのあなた。ご安心ください。私も数学はさっぱりわかりません。（ドヤることでもないですが…）でも、この『笑わない数学』は数学が「わかる」ためのＤＶＤ（本）じゃないんです。 『笑わない数学』はＮＨＫ総合で、シーズン１：2022年7～9月、シーズン２：2023年10～12月と、計20回にわたって放送された番組です。番組のナビゲーター…

購入した本 ロバート・ブランダム (2020).『プラグマティズムはどこから来て、どこへ行くのか』[上 / 下], 加藤隆文, 田中凌, 朱喜哲, 三木那由他訳, 勁草書房. 『プラグマティズムはどこから来て、どこへ行くのか』 www.keisoshobo.co.jp www.keisoshobo.co.jp 先月の「気になっている本」枠。まだ読み始めたばかりなのだけれど、たぶんオーソドックスな入門書という感じの本ではないので、多少は覚悟して読む必要がありそう。ただ、思ったよりもいわゆる英米系の分析哲学のモチーフが（ブランダムが言うところのプラグマティズムの輪郭をかたどるものとして）ばしばし出…

現在２０２４年１月２８日２１時２５分である。（この投稿は、ほぼ２１６６文字）麻友「とうとう、吉川圭二『群と表現』が、役に立つときが来た」私「全部で２５０ページの本で、索引で、『射影表現』と、引いて、１３６ページとある。臨場感を味わえるように、肝心のページを、スキャンした。難しい言葉は、全部飛ばしていい」若菜「パウリ行列って、あのパウリですか？」私「そう」結弦「この問題、お父さん、解けるの？」私「今は解けない」麻友「安心したわ」私「次が、１３６ページ」結弦「良く分からないけど、お父さんが、『スピンが半奇数』に、アンダーラインを引いて、『やっぱり。』２０２４．１．２３ １０：３５：２８と、書き込ん…

晴。外は積雪で白銀の世界だ。 どうも外付けHDD をマウントすると不安定なので、fsck コマンドで修復する。やはり一部壊れていたみたいだ。 NML で音楽を聴く。■ベートーヴェンの交響曲第三番 op.55 「英雄」で、指揮はアンタル・ドラティ、ミネアポリス交響楽団（NML）。1957年の録音。ドラティ＋ミネアポリス響はステレオ初期にマーキュリー・レコードに多くの録音を残しているそうであるが、そのひとつ。たぶん、（文化的）大量消費時代になって、普及品として求められたのであろうが（要出典）、イン・テンポでおそろしく辛口のエロイカ交響曲、はっきりいってめっちゃおもしろい！ 野蛮なベートーヴェンの魅…

自著の販促はしつこいと嫌われるので、そろそろやめて、別の話題に移ろう。 今回は、久賀道郎先生の名著『ガロアの夢』がちくま学芸文庫から復刻されたことを祝してこの本についてエントリーしたいと思う。 実は、久賀先生は宇沢弘文先生の親友で、宇沢先生から何度もお話を伺ったことがある。しまいには、宇沢先生から「君は久賀くんに似ている」とまでおだてられて、恐縮するものの、とても嬉しかった経験までした。その辺の事情はこのエントリーに詳しく書いてあるので、読んでほしい。 この本のレビューをする前に、せっかくだから宇沢先生がらみで、ぼくが来週から行う市民向けレクチャーの宣伝とプッシュをしておこう。 宇沢弘文の社会…